Question

作为我自己的练习，我正在实施Miller-Rabin测试。（通过SICP工作）。我理解费马的小定理并且能够成功地实现它。我在米勒 - 拉宾测试中被绊倒的部分是这个“1 mod n”业务。是不是1 mod n（n是一些随机整数）总是1？所以我很困惑“1模数n的非平方根”可能是什么，因为在我看来“1 mod n”在处理整数值时总是1。我错过了什么？

Answer 1

1与9 mod 8一致，因此3是1 mod 8的非平凡平方根。

您正在使用的不是单个数字，而是等价集。 [m]n是所有数字x的集，因此x与m mod n一致。任何与该集合的任何元素相关的东西都是m模n的平方根。

给定任何n，我们有一组整数模n，我们可以写成Zn。这是集合（集合）[1]n，[2]n，...，[n]n。每个整数都在一个且只有一个集合中。我们可以在[a]n + [b]n = [a + b]n这个集合上定义加法和乘法，同样用于乘法。因此，[1]n的平方根是[b]n的（n个元素），因此[b*b]n = [1]n。

在实践中，我们可以将m与[m]n混为一谈，通常会选择m'的唯一元素[m]n，以便0 <= m' < n作为我们的代表'元素：这就是我们通常认为的m mod n。但重要的是要记住，正如数学家所说，我们正在“滥用符号”。

这里有一些（非惯用的）python代码，因为我没有方案解释器ATM：

>>> def roots_of_unity(n):
...      roots = []
...      for i in range(n):
...          if i**2 % n == 1:
...               roots.append(i)
...      return roots
... 
>>> roots_of_unity(4)
[1, 3]
>>> roots_of_unity(8)
[1, 3, 5, 7]
>>> roots_of_unity(9)
[1, 8]

所以，特别是（看最后一个例子），17是统一模9的根。的确，17 ^ 2 = 289和289％9 = 1.返回我们之前的符号[8]9 = [17]9和{ {1}}

Answer 2

这就是为什么措辞是针对NONTRIVIAL平方根为1. 1是一个平凡的平方根1，对于任何模数n。

17是一个非平凡的平方根1，mod 144.因此17 ^ 2 = 289，这与1 mod 144一致。如果n是素数，则1和n-1是1的两个平方根，他们是这样的根源。然而，对于复合物n，通常存在多个平方根。当n = 144时，平方根为{1,17,55,71,73,89,127,143}。

Answer 3

我认为这种误解来自于该书给出的关于非平凡根源的定义：

“1模数n的非平凡平方根”，即不等于1或n - 1 的数字，其平方等于1模n

我认为它应该说：

其正方形全等为1模n

对Miller-Rabin感到困惑

3 个答案: