Question

我知道Miller–Rabin primality test是概率性的。但是我想将它用于programming task，不容错误。

如果输入数字是64位整数（即C中的long long），我们可以假设它是非常正确的吗？

Answer 1

Miller-Rabin确实是概率性的，但你可以任意交换计算时间的准确性。如果您测试的数字是素数，它将始终给出正确的答案。有问题的情况是数字是复合数，但据报道是素数。我们可以使用formula on Wikipedia限制此错误的概率：如果您随机选择k个不同的基数并测试它们，则错误概率小于4 ^-k。因此，即使使用k = 9，您只有三分之一的错误机会。而且k = 40左右就变得荒谬了。

也就是说，有一个deterministic version of Miller–Rabin，依赖于广义黎曼假设的正确性。对于范围你最多2 ⁶⁴，只需检查a = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23即可。 I have a C++ implementation online在许多编程竞赛中经过现场测试。这是无符号64位整数模板的实例化：

bool isprime(uint64_t n) { //determines if n is a prime number
    const int pn = 9, p[] = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 };
    for (int i = 0; i < pn; ++i)
        if (n % p[i] == 0) return n == p[i];
    if (n < p[pn - 1]) return 0;
    uint64_t s = 0, t = n - 1;
    while (~t & 1)
        t >>= 1, ++s;
    for (int i = 0; i < pn; ++i) {
        uint64_t pt = PowerMod(p[i], t, n);
        if (pt == 1) continue;
        bool ok = 0;
        for (int j = 0; j < s && !ok; ++j) {
            if (pt == n - 1) ok = 1;
            pt = MultiplyMod(pt, pt, n);
        }
        if (!ok) return 0;
    }
    return 1;
}

PowerMod和MultiplyMod只是在给定模数下乘以和取幂的基元，使用square-and-{multiply，add}。

Answer 2

对于 n ＆lt; 2 ^ 64，可以对七个碱基2,325,9375,28178,450775,9780504和1795265022进行强伪测试，并完全确定 n 的素数;请参阅 http://miller-rabin.appspot.com/。

更快的素性测试对基数2执行强伪测试，然后进行Lucas伪调试。它只需要一次强伪测试的3倍，因此速度是7-base Miller-Rabin测试的两倍多。代码更复杂，但并不令人畏惧。

如果您有兴趣，我可以发布代码;请在评论中告诉我。

Answer 3

在Miller-Rabin的每次迭代中，您需要选择一个随机数。如果你运气不好，这个随机数字不能揭示某些复合材料。一个小例子就是2^341 mod 341 = 2，通过了测试

但是测试保证它只允许复合通过概率<1/4。因此，如果您使用不同的随机值运行64次测试，概率将降至2 ^（ - 128）以下，这在实践中已足够。

你应该看一下Baillie–PSW primality test。虽然它可能有误报，但是没有已知的例子，根据维基百科已经verified，没有低于2 ^ 64的复合数通过测试。所以它应该符合你的要求。

Answer 4

对64位值进行高效的deterministic variants MR测试 - 依赖于GRH - 通过利用GPU和其他已知结果进行了详尽的测试。

我已经列出了我编写的C程序的相关部分，它测试任何64位值的原始性：(n > 1)，使用Jaeschke和Sinclair的基础为确定性MR变种。它利用gcc和clang的__int128扩展类型进行求幂。如果不可用，则需要明确的例程。也许其他人会觉得这很有用......

#include <inttypes.h>

/******************************************************************************/

static int sprp (uint64_t n, uint64_t a)
{
    uint64_t m = n - 1, r, y;
    unsigned int s = 1, j;

    /* assert(n > 2 && (n & 0x1) != 0); */

    while ((m & (UINT64_C(1) << s)) == 0) s++;
    r = m >> s; /* r, s s.t. 2^s * r = n - 1, r in odd. */

    if ((a %= n) == 0) /* else (0 < a < n) */
        return (1);

    {
        unsigned __int128 u = 1, w = a;

        while (r != 0)
        {
            if ((r & 0x1) != 0)
                u = (u * w) % n; /* (mul-rdx) */

            if ((r >>= 1) != 0)
                w = (w * w) % n; /* (sqr-rdx) */
        }

        if ((y = (uint64_t) u) == 1)
            return (1);
    }

    for (j = 1; j < s && y != m; j++)
    {
        unsigned __int128 u = y;
        u = (u * u) % n; /* (sqr-rdx) */

        if ((y = (uint64_t) u) <= 1) /* (n) is composite: */
            return (0);
    }

    return (y == m);
}

/******************************************************************************/

static int is_prime (uint64_t n)
{
    const uint32_t sprp32_base[] = /* (Jaeschke) */ {
        2, 7, 61, 0};

    const uint32_t sprp64_base[] = /* (Sinclair) */ {
        2, 325, 9375, 28178, 450775, 9780504, 1795265022, 0};

    const uint32_t *sprp_base;

    /* assert(n > 1); */

    if ((n & 0x1) == 0) /* even: */
        return (n == 2);

    sprp_base = (n <= UINT32_MAX) ? sprp32_base : sprp64_base;

    for (; *sprp_base != 0; sprp_base++)
        if (!sprp(n, *sprp_base)) return (0);

    return (1); /* prime. */
}

/******************************************************************************/

请注意，MR（sprp）测试会在迭代中略微修改为传递值，其中基数是候选者的倍数，如“备注”中所述。网站部分

更新虽然基本测试的答案次数少于Niklas'，但重要的是要注意基础：{3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}提供便宜的测试，以便我们消除超过29 * 29 = 841的候选人 - 只需使用GCD。

对于(n > 29 * 29)，我们可以明确地消除任何偶数值 prime 。小素数的乘积：(3 * 5 * 7 * 11 * 13 * 17 * 19 * 23 * 29} = 3234846615非常适合32位无符号值。 gcd(n, 3234846615)比MR测试便宜很多！如果结果不 (1)，则(n) > 841的因素很小。

Merten（？）定理表明，这种简单的gcd(u64, u64)测试消除了所有奇数候选者中的约68％（作为复合物）。如果您正在使用M-R搜索质数（随机或递增），而不仅仅是“一次性”。测试，这当然值得！

Answer 5

你的电脑并不完美;它具有有限的失败概率，从而产生不正确的计算结果。提供M-R测试给出错误结果的概率远远低于其他计算机失败的概率，那么你就没事了。没有理由在少于64次迭代的情况下运行M-R测试（误差为1 ^ 2 ^ 128）。大多数示例在前几次迭代中都会失败，因此只会对实际的质数进行全面测试。使用128次迭代获得1 in 2 ^ 256的错误机会。

米勒拉宾Primality测试准确性

5 个答案: