Question

假设整数表示为Fibonacci数的和，而不是2的幂，因此100101代表F(6)+F(3)+F(1)=8+2+1=11（我们假设F(1)=F(2)=1）。我希望在O（1）摊销时间内以此表示形式递增一个整数。

我有增量算法：直觉是不应该有两个连续的1位。所以我首先将最低有效0位设置为1，然后从最高有效位开始，如果数字有两个连续的1位，比如位i和i-1，则将它们都设置为0并设置i + 1 bit to 1.递归执行此操作，直到没有两个连续的1位。

我使用会计方法进行摊销分析。因此，对于每个增量操作，我将授予k美元，并且每个位翻转将花费1美元。但是，我无法设置和证明k的正确值。根据经验，我认为k=3可以起作用，但我不知道如何证明这一点。

Answer 1

以下是如何进行的概述。

首先，证明每个整数n在Fibonacci数中都有唯一表示，没有两个连续的1位。（更正，最低位为0.我会将该位称为0.）因此，您将从一个开始，应用您的算法，然后结束一个。

其次，证明如果在操作期间i位翻转，你提出的表示将是位1,2,3，...，i-1中的所有0＃1 。（更正说明，我忽略了第0位。）

接下来，如果在翻转之前i位为0，那么让我们把它翻转到自身的成本。如果在翻转之前i位是1，那么让我们把它翻转为2的成本，因为你必须将它翻转到它之前的那个。（除了第1位的特殊情况。）

如果i位为0，那么在你前面的序列...010101之前，你不会再次翻转。您从...000开始，下一个数字是Fib(i)，这就是这些位翻转之间的时间长度。从这里你可以设置从i到0翻转1位的成本的上限。（上限是它总是0。）

如果i位为1，那么在你前面的序列...101010之前，你不会再次翻转。您从...000开始，下一个数字是Fib(i-1)，这就是这些位翻转之间的时间长度。从这里你可以设置从i到1翻转0位的成本的上限。（上限是它始终为1.）在Fib(i-1)小于Fib(i)的事实与我们将2位翻转到此操作的事实之间，此约束将大于前。

总结这两个界限，你会得出一个分摊上限来计算翻转i位的成本。此上限将以指数方式衰减。

将所有可能位的上限求和，并且每个操作的位翻转的摊销成本都有一个上限。这将是一个有限的数字。： - ）

Answer 2

使用电位方法，让表示的电位为1位数。然后递增最低位将电位增加1，因此它仍然是摊销的恒定时间，并且每个进位都是自由摊销的，因为它通过将两位一位变为一位来释放一个势能单位。

Answer 3

以下是一些命题和观察结果，得出的结论是 k = 3 ：

该算法的应用包括单个增量（从 0 到 1 ）和零个或多个三重翻转（ 011 到 100 ）。
运行算法后，可以保证位模式中不再有 11 模式。
增量应用于最右边的位或左边的位，因为算法启动时它们不是 1 。
增量后，最右边的位置或左边的一个位置可能会出现 11 模式。它可能都是（ 111 ），但算法会选择左边的算法。
翻转始终执行此子模式转换： 011 - ＆gt; 100 ，因此每个三元组翻转时1位的数量减少。此外，在tripliet翻转之后保留的1位仅在其右侧具有0位，除了最右位可能是 1 （在增量阶段结果的情况下）在 ... 111 ）。
在三元组翻转之后，新的 11 模式可能出现的唯一位置是前一次出现的左侧的两个位位置。所以可能会有一连串的三重翻转向左移动。这个过程是有限的，因为每个三元组翻转时1位的数量会减少。
算法是正确的，因为增量发生在表示值1的位（两个最右边的两个斐波那契数字都是1），因此表示的值增加为1.三重翻转不会由于Fibonacci属性而改变了代表值。
除了最右边的2位之外，所有其他位只能通过在某一点上作为三重态翻转的最左位而成为1位。
为 F _i +1 生成的表示，其中 F _i 是 i ^th Fibonacci数大于2，总是恰好有两个1位，包括最右边的位。这是因为对应于值 F _i 的位在所有其他位 0 的时刻设置，除了最右边的位。如果最右边的位不是 1 ，则在下一次应用算法时它将变为 1 。因此可以保证将生成 10 ... 01 模式，其值为 F _i +1 。
从 0 到 F _i +1 执行的增量数量显然是 F _我 1 即可。从 0 到 F _i +1 的三元组翻转次数为 F _i -1 即可。这是因为增量会使模式中的1位数增加1，而三重翻转会将此数字减少为1.当 F _i +1 时有两个1-比 0 的表示更多的位数，三重翻转的数量比增量数少2。

结论

为了增加 i ，达到 F _i +1 的增量数和三元组翻转之间的比率收敛为1，因为2的差异变得可以忽略不计。这意味着问题中的 k 收敛到3（三次翻转包含3次翻转）。

演示

请参阅重复应用算法的this JS Fiddle，显示位显示，增量总数和三元组翻转及其比率。看看比率（非常）如何慢慢收敛到1。

上述小提琴算法的实现如下：

// Apply the algorithm once
var mask; 
this.bits |= 1 << (this.bits & 1);
this.increments++;
mask = (this.bits & 6) === 6 ? 4 
     : (this.bits & 3) === 3 ? 2 : 0;
while (this.bits & mask) {
    this.bits ^= mask * 3.5; // 3 flips
    mask <<= 2;
    this.flips++;
}

用于递增基于斐波那契的整数的摊销分析

3 个答案:

结论

演示