二叉搜索树中缺少数字

Question

如果我的订单统计二进制平衡树有find(x)个不同的整数作为其键，我想编写函数 x ，它返回不在的最小整数树，大于O(log(n))。在6,7,8,10,11,13,14时间。

例如，如果树中的键是find(6)=9，那么find(8)=9，find(10)=12，find(13)=15，max。

我考虑在O(log(n))中找到x，在i_x中找到O(log(n))（标记为i_x=n-(m-x)）的索引，然后max+1我可以简单地返回6,7,8,10,11,13,14。

索引我的意思是在“中，索引6为0，索引10为3，例如......

但我在其他案件中遇到麻烦......

Answer 1

根据wikipedia，订单统计树在log（n）时间内支持这两项操作：

• 选择（i） - 在O（log（n））中找到存储在树中的第i个最小元素
• Rank（x） - 在树中查找元素x的等级，即在O（log（n））
中树的元素的排序列表中的索引

首先获得x的等级，然后选择x的高级等级，直到找到插入缺失元素的位置。但这有最坏情况的n * log（n）。

相反，一旦你获得了x的等级，你就会进行一种二分搜索。基本思想是树中的数字x和y之间是否存在空格。如果rank(x) - rank(y) != x - y，则会有一个空格。

一般情况是：当搜索区间中的数字[lo，hi]（lo和hi是树中的等级，mid是中间等级），如果lo和mid之间有空格则在内部搜索[ lo，mid]，否则在[mid，hi]内搜索。 你最终会找到你寻找的号码。

但是，此解决方案不会在log（n）时间内运行，而是在log ^ 2（n）中运行。这是我能想到的最佳解决方案。

编辑：

嗯，这是一个棘手的问题，我多次改变主意。以下是我提出的建议：

我假设左节点保持较低值，右节点保持优值

find(x)的直觉：从根目录开始，沿着树几乎，就像在标准二叉树中一样。如果我们要去的分支不包含find(x)的解决方案，则将其删除。

我们将首先介绍基本案例：

• 如果我找到的节点为null，那么我就完成了，然后返回我想要的值。
• 如果当前值小于我要查找的值，我会在右子树中搜索x
• 如果我发现节点包含x，那么我在右子树上搜索x + 1。

x在左子树中的情况比较棘手，因为它可能包含x，x + 1，x + 2，x + 3等，直到y-1，其中y是存储在当前节点中的值。在这种情况下，我们希望在右子树中搜索y + 1。

但是，如果从x到y的所有数字都不在左子树中（也就是说，存在间隙），那么我们将在其中找到一个值，因此我们查看x的左子树。

问题是：如何查找子树中是否存在从x到y的序列？

python中的算法如下所示：

def find(node, x):
    if node == null:
        return x
    if node.data < x:
        return find(node.right, x)
    if node.data == x:
        return find(node.right, x+1)
    if is_full(...):
        return find(node.right, node.data+1)
    return find(node.left, x)

要获得严格大于x的最小值（不在树中），第一个调用是find(root, x+1)。如果您希望最大值大于或等于不在树中的x，则第一个调用为find(root, x)。 is_full方法检查左子树是否包含从x到node.data-1的所有数字。

现在，以此为出发点，我相信您可以自己找到合适的解决方案，使用每个子树中包含的节点数存储在子树根中的事实。

Answer 2

我遇到了类似的问题。

找到大于x的内容没有任何限制，只需找到BST中缺少的元素。

以下是我的答案，完全有可能在O(lg(n))时间内这样做，假设树几乎是平衡的。您可能需要考虑随机构建的BST的预期高度为lg(n)给定n元素的证明。我使用更简单的表示法O(h)，其中h =树的高度，所以现在有两件事是分开的。

假设和/或要求：

1. 我增强了数据结构。在每个节点存储(left_subtree + right_subtree + 1)的计数。
2. 显然，单个节点的数量是1
3. 此计数是预先计算并存储在每个节点



请原谅我的多个符号不等于（=/=和!=）

另请注意，如果要在计算机上编写工作代码，代码可能会以更好的方式构建。

此外，我认为，在这个时间点，这是正确的。我尝试了尽可能多的角落案例，总的来说它有效。即使有一个反例，我也不认为修改代码以适应特定情况会很困难;但请评论反例，我感兴趣。