给定一组在（X，Y，Z）坐标中定义的点，在任意（X，Y）处插值Z值

Question

假设（X，Y，Z）坐标中的一组点是曲面上的点，我希望能够在任意（X，Y）坐标处插值Z值。我发现使用mlab.griddata在网格上插值可以获得一些成功，但我希望能够为任何（X，Y）坐标调用通用函数。

这组点形成一个大致半球形的表面。为了简化问题，我试图编写一种方法，在下面的x，y和z坐标定义的半球的已知点之间插值。虽然有一个分析解决方案可以找到完美球体的z = f（x，y），这样你就不需要插值，实际的点集将不是一个完美的球体，所以我们应该假设我们需要在未知（X，Y）坐标处插值。 Link to IPython notebook with point data

resolution = 10
u = np.linspace(-np.pi / 2, np.pi / 2, resolution)
v = np.linspace(0, np.pi, resolution)

U, V = np.meshgrid(u, v)

xs = np.sin(U) * np.cos(V) 
ys = np.sin(U) * np.sin(V)
zs = np.cos(U)

我一直在使用scipy.interpolate.interp2d，它“返回一个函数，其调用方法使用样条插值来查找新点的值。”

def polar(xs, ys, zs, resolution=10):
    rs = np.sqrt(np.multiply(xs, xs) + np.multiply(ys, ys))
    ts = np.arctan2(ys, xs)
    func = interp2d(rs, ts, zs, kind='cubic')
    vectorized = np.vectorize(func)

    # Guesses
    ri = np.linspace(0, rs.max(), resolution)
    ti = np.linspace(0, np.pi * 2, resolution)

    R, T = np.meshgrid(ri, ti)
    Z = vectorized(R, T)
    return R * np.cos(T), R * np.sin(T), Z

不幸的是，我得到了非常奇怪的结果，类似于另一个StackOverflow user who tried to use interp2d。

迄今为止我发现的最大成功是使用inverse squares估算（X，Y）处的Z值。但该函数不能很好地估计Z = 0附近的Z值。

如果在（x，y，z）中给出一组点，我该怎么做才能得到一个函数z = f(x, y)？我在这里遗漏了什么......我是否需要更多的点云来可靠地估算表面上的值？

修改

这是我写完的功能。该函数接受xs, ys, zs的输入数组，并使用x, y在scipy.interpolate.griddata进行插值，这不需要常规网格。我确信有一种更聪明的方法可以做到这一点，并希望任何更新，但它的工作原理，我不关心性能。包括一个片段，以防将来帮助任何人。

def interpolate(x, y, xs, ys, zs):
    r = np.sqrt(x*x + y*y)
    t = np.arctan2(y, x)

    rs = np.sqrt(np.multiply(xs, xs) + np.multiply(ys, ys))
    ts = np.arctan2(ys, xs)

    rs = rs.ravel()
    ts = ts.ravel()
    zs = zs.ravel()

    ts = np.concatenate((ts - np.pi * 2, ts, ts + np.pi * 2))
    rs = np.concatenate((rs, rs, rs))
    zs = np.concatenate((zs, zs, zs))


    Z = scipy.interpolate.griddata((rs, ts), zs, (r, t))
    Z = Z.ravel()
    R, T = np.meshgrid(r, t)
    return Z

Answer 1

您说您已尝试使用griddata。那为什么那不起作用？如果新点没有规则间隔，griddata也可以使用。例如，

# Definitions of xs, ys and zs
nx, ny = 20, 30
x = np.linspace(0, np.pi, nx)
y = np.linspace(0, 2*np.pi, ny)

X,Y = np.meshgrid(x, y)

xs = X.reshape((nx*ny, 1))
ys = Y.reshape((nx*ny, 1))

## Arbitrary definition of zs
zs = np.cos(3*xs/2.)+np.sin(5*ys/3.)**2

## new points where I want the interpolations
points = np.random.rand(1000, 2)

import scipy.interpolate
zs2 = scipy.interpolate.griddata(np.hstack((xs, ys)), zs, points)

这不是你想要的吗？

Answer 2

如果我理解了您的问题，您可以获得由{/ p>定义的积分xs，ys，zs

xs = np.sin(U) * np.cos(V) 
ys = np.sin(U) * np.sin(V)
zs = np.cos(U)

你想要的是能够插入并找到给定x和y的z值吗？你为什么需要插值？上面的等式代表一个球体，它们可以重写为xs*xs + ys*ys + zs*zs = 1，因此这个问题有一个简单的解析解决方案：

def Z(X, Y):
    return np.sqrt(1-X**2-Y**2)
    ## or return -np.sqrt(1-X**2-Y**2) since this equation has two solutions

除非我误解了这个问题。