Question

我有一个算法，可以解释为将数字行分成相同数量的块。为简单起见，我会坚持使用[0,1），它将被分割为：

0|----|----|----|----|1

我需要做的是获取一系列数字[j，k]并找到最大数量的块，N，最多为某个最大值M，这将划分数字行所以[j，k]仍然都属于同一个“bin”。这比听起来更棘手，因为范围可以像这样跨越一个箱子：

    j|-|k
0|----|----|----|----|1

因此，在完全包含该范围之前，您可能必须达到相当低的数字。更重要的是，随着垃圾箱数量的增加，范围可能会移入和移出单个垃圾箱，因此存在局部最小值。

显而易见的答案是从M个箱子开始，减少数量，直到范围落入单个箱子。但是，我想知道是否有比列举所有可能的划分更快的方法，因为我的最大数量可以合理地大（8000万左右）。

有更好的算法吗？

Answer 1

在这里，我想提供另一种与btilly不同的启发式方法。

任务是找到整数m和n，使m / n <= j < k <= (m + 1) / n n尽可能大（但仍在M下）。< / p>

直观地，分数m / n最好接近j。这导致了使用continued fractions的想法。

我建议的算法非常简单：

使用减号计算j的所有连续分数（以便分数始终从上方查找j），直到分母超过M;
对于每个此类分数m / n，找到i >= 0和k <= (m * i + 1) / (n * i)这样的最大整数n * i <= M，并用{{1}替换分数m / n };
在2中的所有分数中，找到分母最大的分数。

该算法在(m * i) / (n * i)和j中不对称。因此，有一个类似的k - 版本，通常不应该给出相同的答案，以便您可以从两个结果中选择较大的一个。

示例：我将采用btilly的示例：k和j = 0.6，但我将采用k = 0.65。

我将首先完成M = 10 - 程序。为了计算j的连续分数展开，我们计算：

由于0.6 = 0 + 0.6 = 0 + 1 / (2 - 0.3333) = 0 + 1 / (2 - 1 / (3 - 0))是一个有理数，因此扩展会在很多步骤中终止。相应的分数是：

0.6

在步骤2中计算相应的0 = 0 / 1 0 + 1 / 2 = 1 / 2 0 + 1 / (2 - 1 / 3) = 3 / 5值，我们用以下内容替换三个派系：

最大的分母是0 / 1 = 0 / 1 1 / 2 = 3 / 6 3 / 5 = 6 / 10。

继续上面的示例，相应的6 / 10 - 过程如下：

因此相应的分数：

  0.65
= 1 - 0.35
= 1 - 1 / (3 - 0.1429)
= 1 - 1 / (3 - 1 / (7 - 0))

通过第2步，我们得到：

1 = 1 / 1
1 - 1 / 3 = 2 / 3
1 - 1 / (3 - 1 / 7) = 13 / 20

最大的分母是1 / 1 = 2 / 2 2 / 3 = 6 / 9 13 / 20 = 0 / 0 (this is because 20 is already bigger than M = 10)。

编辑：实验结果。

令我惊讶的是，算法比我想象的要好。

我做了以下实验，忽略了绑定6 / 9（等效地，可以使M足够大。）

在每一轮中，我会在M的{{1}}中使用(j, k)生成一对[0, 1)均匀分布的随机数。如果差异j < k小于k - j，我会放弃这一对，使此轮无效。否则，我使用朴素算法计算真实结果1e-4，并使用我的算法计算启发式结果trueN，并将它们添加到统计数据中。这将持续1e6轮。

结果如下：

heurN

effective round = 999789 sum of trueN = 14013312 sum of heurN = 13907575 correct percentage = 99.2262 % average quotient = 0.999415是有效回合的百分比，correct percentage等于trueN，heurN是商average quotient的平均值所有有效轮次。

因此，该方法在99％以上的案例中给出了正确的答案。

我还使用较小的heurN / trueN值进行了实验，结果相似。

Answer 2

bin大小的最佳情况必须大于k-j。

考虑数字线段[0..j]和[k..1)。如果我们可以使用相同的bin大小将两个部分段划分为多个部分，我们应该能够解决问题。

因此，如果我们考虑gcd((j-0)/(k-j), (1-k)/(k-j))，（我们在除法后使用最大整数函数），我们应该能够得到一个好的估计值或最佳值。存在极端情况：如果(k-j) > j或(k-j) > (1-k)，则最佳值为1本身。所以一个非常好的估计应该是min(1, (k-j) * gcd((j-0)/(k-j), (1-k)/(k-j)))

Answer 3

让我们稍微改变一下。

您希望找到m, n尽可能大的n < M m/n）j接近但小于k <= (m+1)/n和j }。

所有有希望的候选人都将出现在https://en.wikipedia.org/wiki/Stern%E2%80%93Brocot_tree。事实上，只要走过Stern-Brocot树就可以找到最后一个大理性的＃34;在k或更高的0.49999999以下1/3, 2/5, 3/7, 4/9, ...下方设置您的限制。

有一个并发症。通常树快速收敛。但有时Stern-Brocot树的序列很长，间隙很小。例如，到a/b < c/d的序列将包括(a+c)/(b+d)我们总是在(a+i*c)/(b+i*d)时落入这些序列，然后我们取中间i然后我们走向一边，所以M。如果您非常聪明，那么您可以直接进行二元搜索，以获得(a+i*c)/(b+i*d)使用的正确功效。

这种聪明的诀窍是将你的遍历视为：

从2＆＃34开始;等于＆＃34;级分。
取中位数。如果超过i那么我就完成了。否则我会从那个方向找出方向。
在M中尝试2的幂，直到我知道i范围为(a+i*c)/(b+i*d)的范围。{/ li>
进行二进制搜索以找到我可以使用的最后一个(a+i*c+c)/(b+i*d+d)。
0/1和1/1是我的两个新等分。回到第一步。

初始相等分数当然是O(log(M))和M = 3。

这将始终在j=0.6操作中找到合适的答案。不幸的是，这个相当不错的答案并不总是正确的。考虑k=0.65，1/2和1/3的情况。在这种情况下，启发式搜索将停留在M，而实际的最佳答案为1/2。

它失败的另一种方式是它只找到减少的答案。在上面的示例中，如果1/4为4，那么当它实际为this.props.location.query.color时，它仍然认为最佳答案为color。通过测试最终答案的多个是否有效，可以很容易地解决这个问题。（这一步将改善你的答案一个固定但相当大的时间。）

最大除数使得两个数除以它的数值相同？

3 个答案: