直观地理解GCD算法

Question

了解此算法如何找到GCD的直观方法是什么？

Answer 1

维基百科在名称Euclidean algorithm上有一篇很好的文章。特别是，文章中的这张图片可能会回答您的文字问题：了解此算法如何找到GCD的直观方式：

  

欧几里德算法的基于减法的动画。初始矩形的尺寸为a = 1071，b = 462.尺寸为462×462的正方形放置在其中，留下462×147的矩形。这个矩形平铺有147×147个正方形，直到留下一个21×147的矩形，然后用21×21的正方形平铺，没有留下未覆盖的区域。最小的方形尺寸21是1071和462的GCD。

Answer 2

最大公约数算法的最初发明者是欧几里德，他在基督诞生前约300年在他的书“元素中描述了它。这是他的几何解释，包括他的图表：

让AB和CD成为两个不是相对素数的给定数字。

需要找到AB和CD的最大常用度量。

如果现在CD测量AB，因为它也测量自身，那么CD是CD和AB的常用度量。很明显，它也是最大的，没有比CD措施CD更多的数字。

但是，如果CD没有测量AB，那么，当从较大的数字中连续减去AB和CD中较少的数字时，会留下一些数字来衡量它之前的数字。

对于一个单位没有留下，否则AB和CD将是相对素数，这与假设相反。

因此会留下一些数字来衡量它之前的数字。

现在让CD测量BE，让EA小于自身，让EA测量DF，让FC小于自身，让CF测量AE。

此后，CF测量AE，AE测量DF，因此CF也测量DF。但它衡量自己，因此它也衡量整个CD。

但CD测量BE，因此CF也衡量BE。它还测量EA，因此它测量整个BA。

但它也测量CD，因此CF测量AB和CD。因此CF是AB和CD的常用量度。

接下来我说它也是最棒的。

如果CF不是AB和CD的最常用量度，那么一些大于CF的数字G测量数字AB和CD。

现在，由于G测量CD，CD测量BE，因此G也测量BE。但它也测量整个BA，因此它测量剩余的AE。

但AE测量DF，因此G也测量DF。并且它测量整个DC，因此它也测量剩余的CF，也就是说，越大的测量越少，这是不可能的。

因此，大于CF的数字不会测量数字AB和CD。因此CF是AB和CD的最常用量度。

观察Euclid使用＆＃34;措施＆＃34;表示较小长度的某些倍数与较大长度相同;也就是说，他的概念＆＃34;措施＆＃34;与我们的概念相同＆＃34;划分＆＃34;如7分28。

Answer 3

简而言之，如果a和b都可以被D分割，那么它必须是a-b的除数，并且不能大于{{1} }}。逻辑是递归地应用这一点，并添加了a-b GCD为a=b的规则：

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