如果我正确地理解了Curry-Howard的同构，每个依赖类型都对应一个定理，实现它的程序就是一个证明。这意味着任何数学问题，例如a^n + b^n = c^n，都可以某种方式表示为一种类型。
现在，假设我想设计一个生成随机类型（定理）的游戏，并且游戏必须尝试实现这些类型的程序（证明）（定理）。是否有可能控制那些定理的难度？即，简单模式会产生平凡的定理，而硬模式会产生更难的定理。
答案 0 :(得分：3)
单向函数是一个可以在多项式时间内计算的函数，但它没有可以在多项式时间内计算的右逆。如果f是单向函数，那么您可以选择一个参数x，其大小由难度设置决定，计算y = f x，并要求用户建设性地证明y位于f。{/ p>的图像中
这不是非常简单。没有人知道是否有任何单向函数。大多数人认为有，但证明，如果确实如此，至少与证明P /= NP一样困难。但是，有一丝光芒！人们设法用奇怪的属性构造函数，如果任何函数是单向的，那么这些函数必须是单向的。所以你可以选择这样一个功能，并相信你会提供足够多的难题。不幸的是，我相信所有已知的通用单向函数都非常讨厌。因此，您可能会发现很难对其进行编码，您的用户可能会发现即使是最简单的证据也太难了。因此，从实际的角度来看，你可能最好选择加密哈希函数这样的东西，这种函数不是真正单向的，但对于人来说肯定很难破解。 / p>
答案 1 :(得分：1)
如果只生成类型，则大多数类型将与⊥同构。 ∀ n m -> n + m ≡ m + n有意义，但∀ n m -> n + m ≡ n，∀ n m -> n + m ≡ suc m，∀ n m -> n + m ≡ 0，∀ n m xs -> n + m ≡ length xs和其他数百万不是。您可以尝试生成类型良好的术语，然后使用像Djinn之类的东西检查生成的术语的类型不是由更简单的术语居住。然而，即使使用clever strategy，许多生成的术语也会过于简单或只是无意义的垃圾。键入的设置包含的术语少于非键入的设置，但只有一个变量的类型可以是A，A -> A，A -> B，B -> A，A -> ... -> E和所有这些类型变量可以是免费的或普遍量化的。此外，∀ A B -> A -> B -> B和∀ B A -> A -> B -> B基本上是相同的类型，所以你的平等不仅仅是αη，而是更复杂的东西。搜索空间太大了，我怀疑随机生成器可以产生非常重要的东西。
但也许某些特定形式的术语可能很有趣。 Bakuriu 在评论中提出了由参数性提供的定理：您可以简单地从{Agard标准库中取Data.List.Base或Function或任何其他基本模块，并凭空创建许多定理。还要查看A computational interpretation of parametricity论文，该论文提供了一种从依赖类型设置中的类型推导定理的算法（但是，我不知道它与Theorems for free的关系如何，并且它们没有给出数据规则类型）。但我不确定大多数产生的定理是不是可以通过简单的归纳来证明的。虽然关于左侧折叠实例的函数的定理通常比右折叠实例的定理更难 - 这可能是一个标准。
答案 2 :(得分：0)
这属于证明复杂性下限的有趣且困难的领域。首先，它在很大程度上取决于您正在使用的逻辑系统的强度，以及它允许的证据。一个命题很难在一个系统中证明，而在另一个系统中很容易证明。
接下来的问题是，对于随机命题（在一个相当强大的逻辑系统中），甚至不可能确定它是否可证明（例如，一阶逻辑中的可证明命题集只有recursively enumerable） 。即使我们知道它是可证明的，决定它的证明复杂性可能非常困难或不可判断（如果你找到证据，它并不意味着它是最短的证据）。
直观地看起来它类似于Kolmogorov complexity：对于一般字符串，我们无法分辨出产生它的最短程序是什么。
对于某些证明系统和特定类型的公式，存在已知的下界。哈肯于1989年证明：
对于足够大的 n ， PHP ^ n {n-1} _的任何分辨率证明_（鸽子孔原理）需要长度2 ^ {\ Omega（n ）}。
These slides概述了该定理。所以你可以使用这样的模式生成命题，但这对游戏来说可能不会很有趣。