是否有可能将自由定理作为命题的等式？

Question

Wadler的论文“免费定理”意义上的“自由定理”关于某些值的等式是仅基于它们的类型导出的。所以，例如，

f : {A : Set} → List A → List A

自动满足

f . map g = map g . f

我可以接受以下类型的Agda术语：

(f : {A : Set} → List A → List A) {B C : Set} (g : B → C) (xs : List B)
  → f (map g xs) ≡ map g (f xs)

或者如果是这样/如果没有，我可以做更多/更不普遍的事情吗？

我知道Lightweight Free Theorems library的存在，但我不认为它符合我的要求（或者如果它确实存在，我不太了解它）。

（一个示例用例是我有一个仿函数F : Set → Set，并希望证明多态函数F A × F B → F (A × B)自动转换。{/ p>

Answer 1

不，构建Agda的类型理论还不足以证明这一点。这需要一个名为“内化参数”的功能，参见Guilhem的工作：

• Jean-Philippe Bernardy和Guilhem Moulin：A Computational Interpretation of Parametricity（2012）
• Guilhem Moulin：Pure Type Systems with an Internalized Parametricity Theorem（2013）

这将允许您例如证明“（A：Set）→A→A”的所有居民都等于（多态）身份函数。据我所知，这还没有用任何语言实现。

Answer 2

Chantal Keller和Marc Lasson为Coq开发了一种策略，生成对应于（闭合）类型的参数关系，并证明此类型的居民满足生成的关系。您可以在Keller's website上找到有关此工作的更多详细信息。

现在在Agda的案例中，理论上可以通过使用一种称为反射的技术在纯粹的Agda中实施策略来完成同样的工作。