Question

我可能不会以最好的方式解决这个问题，因为Agda，特别是Agda标准库对我来说还是一个新手。我试图实现二进制搜索树的一些概念。

我有一个二叉树的简单定义

data BTree (A : Set) : ℕ → Set where
  Leaf : A → BTree A 1
  Node : ∀ {n m} → A → BTree A n → BTree A m → BTree A (1 + n + m)

以及两个函数bt-⊔ : ∀ {n : ℕ} → BTree ℕ n → ℕ和bt-⊓ : ∀ {n : ℕ} → BTree ℕ n → ℕ，它们从二叉树中提取最大值和最小值。

我现在正在尝试定义一种数据类型，证明特定树是二叉搜索树。这是我到目前为止所拥有的。

data BST : {n : ℕ} → BTree ℕ n → Set where
  sortL : {x : ℕ} → BST (Leaf x)
  sortN : ∀ {n m} → {a : ℕ} → {l : BTree ℕ n} → {r : BTree ℕ m}
                            → (sl : BST l) → (sr : BST r)
                            → {cl : a ≥ (bt-⊔ l)} → {cr : a < (bt-⊓ r)}
                            → BST (Node a l r)

我对节点BST构造函数的直觉是获取存储在节点（a），两个子树（l和r）的值，证明这两个子树是BST（sl和sr）并证明当前值a大于左子树中的所有内容并且小于右侧的所有内容（cl和{{1 }}）。

这似乎或多或少有效，我可以构建以下简单的树和BST证明。

cr

但是，我希望让Agda推断T₂ : BTree ℕ 3 T₂ = Node 5 (Leaf 3) (Leaf 7) bst₂ : BST T₂ bst₂ = sortN sortL sortL {s≤s (s≤s (s≤s z≤n))} {s≤s (s≤s (s≤s (s≤s (s≤s (s≤s z≤n)))))}和cl的证明，因为它们非常乏味。如果我没有在cr的定义中指定它们，那么Agda似乎认为我的代码中有漏洞，给出了与bst₂和cl相关的下划线变量。

我不清楚如何解决这个问题，也不清楚我是否正确地使用了标准库的这一部分。我愿意接受任何可以使这更容易的建议或解决方案。

Answer 1

您可以将较小或相等的关系定义为函数：

open import Data.Empty
open import Data.Unit.Base using (⊤; tt)
open import Data.Nat.Base

_≤⊤_ : ℕ -> ℕ -> Set
0     ≤⊤ m     = ⊤
suc n ≤⊤ 0     = ⊥
suc n ≤⊤ suc m = n ≤⊤ m

test : 10 ≤⊤ 20
test = tt

它也可以实现原始证明：

≤⊤→≤ : ∀ n m -> n ≤⊤ m -> n ≤ m
≤⊤→≤  0       m      _  = z≤n
≤⊤→≤ (suc n)  0      ()
≤⊤→≤ (suc n) (suc m) p  = s≤s (≤⊤→≤ n m p)

test-test : 10 ≤ 20
test-test = ≤⊤→≤ _ _ test

test-test评估为s≤s (s≤s (s≤s (s≤s (s≤s (s≤s (s≤s (s≤s (s≤s (s≤s z≤n)))))))))。

以及提取最大值和最小值的两个函数bt-⊔ : ∀ {n : ℕ} → BTree ℕ n → ℕ和bt-⊓ : ∀ {n : ℕ} → BTree ℕ n → ℕ 来自二叉树。

存储它们而不是提取它们会更好。查看How to Keep Your Neighbours in Order文章，其中详细说明了如何定义有序数据类型（本文中的代码不会检查最新版本的Agda，请参阅一些提示here）。

但是，我希望让Agda推断cl和cr的证明非常乏味。

这些sortN和sortL也很乏味。应该可以定义

open import Relation.Nullary

ordered? : ∀ {n} -> (b : BTree ℕ n) -> Dec (BST b)
ordered? = ...

ordered?决定树是否有序。然后，您可以在Dec的帮助下删除此Relation.Nullary.Decidable.from-yes。但请先阅读论文并选择更合适的BST表示。

Agda：如何推断_≤_的证明（或者，如何实现二叉搜索树）

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