计算无向段平均方向的算法

Question

我有一组2D无向段，由两个端点组成。据统计，他们中的大多数人或多或少都处于相同的方向。

我想要计算的是段集的平均方向（例如，如果集合是全局N / S，它将返回〜0°等等...） 。请注意，我不关心返回哪个实际方向（0°或180°同样如此）。

在[0..180°范围内夹住每个线段的方向并且取平均值不起作用（例如两个线段，一个1°，另一个-1°：第二个将夹紧到179°并且平均值是错误的，这里是90°，应该是0°）。

我还想到将两组中的“归一化段”端点聚类，并计算由2个聚类中点组成的段的方向，但这对于任务来说似乎有点复杂。 “归一化段”是指在单位圆上有两个终点而在原点上有中间点的段。

是否有已知的算法/公式？

Answer 1

据我了解，细分的位置并不重要，只有他们的方向。

所以我们可以稍微改变一下这个问题：我们有一组向量，我们想在它们上面加一条线。

我们可以采用不同的标准。常用的是最小二乘法。

对于此标准，解决方案是：

double dvx=0,dvy=0;
for(const auto &direction:directions)
{
    dvx+=2*direction.dx*direction.dy;
    dvy+=squared(directions.dx)-squared(directions.dy);
}
return std::atan2(dvx,dvy)/2;//or may be +pi/2

注意：对于此实现，方向将按其长度加权，如果要分配相同的权重，方向向量应该被标准化。

此方法有时用于确定指纹识别中的线条方向：http://jmit.us.edu.pl/cms/jmitjrn/22/28_Wieclaw_4.pdf

有几种方法可以理解这种方法。其中一个是几何的：

我们有一组X轴角度为alpha[i]的矢量。我们不平均这些向量。相反，我们构建角度为2*alpha[i]的向量，对它们求平均值并取得所得角度的一半。诀窍在于，如果相反的方向相差pi，并且在加倍之后它们将相差2*pi，这完全没有区别。

Answer 2

有is method找到角度的平均值（在完整的圆形范围内）

MeanAngle = ArcTan2(Sum{i=1..n}(Sin(Alpha[i])), Sum{i}(Cos(Alpha[i])))

似乎对于你的情况，你可以计算方向向量的余弦的平均值（因为Cos（-alpha）= Cos（alpha）），并获得ArcCos（范围0..Pi）

MeanAngleWithoutDir = ArcCos(1/n * Sum{i=1..n}(Cos(Alpha[i])))

可能应将角度钳制到（0..Pi）或（-Pi / 2..Pi / 2）范围以避免歧义。

Answer 3

元注释：此答案计算给定行的“中位数”。 MBo的other answer计算给定行的“平均值”。

让我们以下列方式将问题正式化。 我们给出了一组线，我们想要找到一条线 p ，使得 p 和所有给定线之间的角度之和尽可能小。 这里，两条线之间的角度是它们交叉点处的角度的最小值，或者如果它们是平行的或重合的则为0。 因此，两条线之间的角度始终为0到90度。

为了使事情更容易理解，翻译线条以使它们都通过原点。 显然，这不会影响答案。

为了解决这个问题，让我们研究一下这个总和的衍生物。 假设我们有一个答案行 p 。 让 x 线从 p 顺时针旋转0-90度， y 线从0开始逆时针旋转0-90度em> p （ x + y = n ，给出的总行数）。

现在，顺时针旋转 p 一个小角度α。 答案将减少 x *α并增加 y *α。 所以，如果 x＆gt; y ，答案会减少，如果 x＆lt;是，它会增加。

有两种情况，数量 x 和 y 会发生变化。

1. p 行符合其中一行。

2. q 行与其中一条给定行正交。

在圆上任意两个这样的连续点之间，我们的和的导数将是常数 x - y 。 因此，最小值将是“感兴趣的角度”之一：与某些给定线平行或正交。 这导致 O（n ^ 2）算法：对于每个感兴趣的 O（n）角，只计算 O（n）<中的和/ em>，并选择给出最小总和的角度。

这可以进一步加速到 O（n log n）。

1. 在 O（n）中生成 2 n 感兴趣的角度。

2. 在 O（n log n）中对它们进行排序。

3. 计算答案，以及 x 和 y ，为 O（n）中的第一个角度。

4. 沿着圆圈移动，保持当前答案以及值 x 和 y 。 在每个 O（n）步骤中，可以在 O（1）中进行计算。

Answer 4

  

统计上，他们中的大多数人或多或少都是一样的   方向。

这一关键信息对于算法的设计至关重要。如果你知道所有的矢量都在90度锥形内，你可以使用一种非常简单的方法：

• 取第一个归一化方向向量的点积与所有其余
• 翻转任何返回负点积的向量
• 照常平均得到的矢量

如果您需要处理更广泛的发行版，可以稍微修改一下：

• 一次一个地对您的归一化方向向量求和
• 在添加矢量之前，使用当前总和计算其点积
• 如果点积为负，则在将矢量添加到总和之前翻转矢量
• 规范您的金额

这是一种串行算法，但如果您需要更高的性能，可以很容易地将其表示为并行缩减：

• 对于缩小树中的每个归一化向量对
  • 取该对的点积
  • 如果它是负向翻转两个向量中的一个并将它们相加
  • 将总和转移到还原的下一阶段
• 规范化您的最终金额

任何这些方法都可以轻松加权，因为您只关心点积的符号。

Answer 5

在O(n)解决方案下方，还可以为每个细分受众群提供可选的权重。

我们用X轴（a）与重量（w）的角度对每个段进行建模。此时段的方向并不重要，任何模数为180°的值都可以。我们的想法是循环每个细分并跟踪到目前为止计算的平均方向;并以模数180的方向调整此平均值，该方向更接近平均值。

伪码（以度为单位的所有角度）：

aa = 0
ww = 0
for a, w in segments:
    // Compute delta between angles in range [-180°..+180°[
    da = a - aa
    if da < -180:
       da += 360
    if da >= 180:
       da -= 360
    // Optional direction swap, delta in [-90°..+90°[
    if da < -90:
       da += 180
    if da >= 90:
       da -= 180
    // The following formula also make sure aa = a mod 180
    // when ww = 0 (first iteration).
    aa += da * w / (w + ww)
    ww += w
    // Clamp result to [0°..+360°[
    if aa >= 360:
       aa -= 360
    if aa < 0:
       aa += 360
// Clamp final result aa to [0..+180°[ (optional step)
if aa > 180:
    aa -= 180

我没有证明结果与迭代顺序无关，但乍一看算法应该是。

关于此算法与输入迭代顺序的依赖关系

对于表现良好的输入数据，无论迭代顺序如何，算法都非常稳定。

然而，一旦输入数据没有明确的主方向，这个算法的结果将很大程度上取决于迭代次序，在难以预测的混沌模式中。 / p>

数值模拟显示，对于标准偏差小于20°（中位数左右）的随机方向，算法似乎总是稳定的。当标准偏差大于20°时，数值不稳定性开始出现，结果很大程度上取决于迭代次序（在20°和30°之间，差异可能小到足以忽略，超过30°的大差异开始出现）。

我没有精确计算出精确的混沌/稳定标准偏差截止值，因此将此20°值作为初始猜测。一个精确的数学解决方案留给读者练习。

在数值模拟结果下（对于0到45°的每个标准偏差，在给定标准偏差的各种随机数据上运行1000倍算法，并测量10次运行之间的平均差值）。

因此，为了获得最佳效果，如果您的输入数据不能保证具有较小的标准偏差，则最好在稳定键上输入数据（首先是更大的重量，或者根据您的输入选择任何其他键）。