置换矩阵的行和列以进行聚类

Question

我有一个距离矩阵，其尺寸为1000x1000，沿对角线对称为0。我想通过同时重新排序矩阵的行和列来形成距离（簇）的分组。这就像在使用热图可视化其聚类之前重新排序矩阵一样。我觉得这应该是一个简单的问题，但我没有太多运气找到在线进行排列的代码。有人可以帮忙吗？

Answer 1

这是一种想到的方法：

1. “稀释”矩阵，以便只有“足够接近”的邻居在矩阵中具有非零值。
2. 使用Cuthill-McKee algorithm压缩稀疏矩阵的带宽。
3. 使用步骤2的结果对原始矩阵进行对称重新排序。

实施例

我将使用Octave（我正在做的一切也应该在Matlab中工作）因为它内置了反向Cuthill-McKee（RCM）实现。

首先，我们需要生成距离矩阵。此函数创建一组随机点及其距离矩阵：

function [x, y, A] = make_rand_dist_matrix(n)
  x = rand(n, 1);
  y = rand(n, 1);
  A = sqrt((repmat(x, 1, n) - repmat(x', n, 1)).^2 +
       (repmat(y, 1, n) - repmat(y', n, 1)).^2);
end

让我们使用它来生成和可视化100点示例。

[x, y, A] = make_rand_dist_matrix(100);
surf(A);

从上面查看表面图得到下面的图像（当然，你的图像会不同）。



暖色代表比冷色更远的距离。矩阵中的行（或列，如果您愿意）i包含点i与所有点之间的距离。点i和点j之间的距离位于条目A(i, j)中。我们的目标是重新排序矩阵，使与点i对应的行靠近与i相距很近的点的行。

稀疏化A的一种简单方法是使所有条目都大于某个阈值零，这就是下面所做的，尽管更复杂的方法可能会更有效。

B = A < 0.2;   % sparsify A -- only values less than 0.2 are nonzeros in B
p = symrcm(B); % compute reordering by Reverse Cuthill-McKee
surf(A(p, p)); % visualize reordered distance matrix



现在，矩阵的排序方式使矩阵中的附近点更加接近。当然，这个结果并不是最佳的。使用启发式算法计算稀疏矩阵带宽压缩，并且RCM是一种非常简单的方法。如上所述，生成稀疏矩阵的更复杂方法可能会产生更好的结果，不同的算法也可能会产生更好的结果。

Just for Fun

另一种看待发生的事情的方法是绘制点并连接一对点，如果它们在矩阵中的相应行是相邻的。你的目标是让线条连接彼此靠近的点对。为了获得更具戏剧性的效果，我们使用比上述更多的点。

[x, y, A] = make_rand_dist_matrix(2000);
plot(x, y);   % plot the points in their initial, random order



显然，连接遍布整个地方，并且发生在各种各样的距离上。

B = A < 0.2;     % sparsify A
p = symrcm(B);
plot(x(p), y(p)) % plot the reordered points



重新排序后，连接的距离会更小，而且更有序。

Answer 2

两个Matlab函数执行此操作：symrcm和 symamd。 请注意，此问题没有唯一的解决方案。聚类是另一种方法。