Question

与下面的函数一样，如何计算其时间复杂度？我认为应该是O（m * n）......

int uniquePaths(int m, int n) {
    if (m < 1 || n < 1) return 0;     
    if (m == 1 && n == 1) return 1;      
    return uniquePaths(m - 1, n) + uniquePaths(m, n - 1);
}

Answer 1

您可以使用递归函数T(m,n) = T(m-1, n) + T(m, n-1)建模时间复杂度，T(1,1)=1和T(m,n)=0只要min(m,n)<1。

看起来像T(m,n)=(m+n choose m)。要查看此注释，recurrence for the binomial coefficients (m+n choose n) = (m+n-1 choose m) + (m+n-1 choose m-1)以及T(m,n) = T(m-1, n) + T(m,n-1)完全相同。

因此T(m,n) = O((m+n)^n / n!)。（有many other bounds。）

Answer 2

递归树：

要表示m = M且n = N的问题，请将其写为 <M, N> 。如果我们尝试绘制此问题的递归树：

从根本上说，我们遇到了一个问题： <M, N>
然后，root断了两个问题： <M-1, N> 和 <M, N-1>
并且，如果我们继续沿着这个递归树，我们将到达叶子，这将是 <0, 0> 。

<树2的深度：

但是，这棵树的最大深度是多少？它的^¹（M + N）。此外，每个节点<M, N>最多可以分为2个路径，即。 <M-1, N>和<M, N-1>。

从树中推断复杂性：

那么，可能的最大叶数是多少？（提示：2 ^{（M + N）}）

好吧，因为每个节点都会断开两个节点，所以每个级别的叶子数量都会乘以2，从根节点开始。

因此，从根开始，总叶数可能= 2 ^{（M + N - 1）}。
乘以除以2得到我们，（1/2）* 2 ^{（M + N）}
摆脱常数值（1/2）给出了复杂性= 2 ^{（M + N）}！

因此，算法的复杂性可以上限为 O（2 ^{（m + n）}）。

^{¹最长的路径将从<M, N>开始，首先转到<0, N>。然后从那里开始<0, 0>。因此，最长的路径长度= M + N.}

如何计算DFS算法的时间复杂度？

2 个答案:

递归树：

从树中推断复杂性：