长期分裂的复杂性是什么？

Question

在讲座中，我的教授正在解释各种算术运算的大时代。他告诉我们，长分是在O（n ^ 2）附近。在网上看，似乎这是正确的，但为什么呢？

任何人都可以详细说明为什么长分在O（n ^ 2）时间？

Answer 1

你正在划分的数字的位数是二次方，这意味着要将n除以m，你需要O((log max(m,n))^2)时间。这是因为每次减法都需要O(log max(m, n))次。

可以获得解释here on StackOverflow。

Answer 2

首先，一些定义：

• 除法运算：股息/除数=商
• n =股息中的位数
• m =除数中的位数
• q =商中的位数

商的每个数字的生成需要两个操作：

1. 除数乘以一位。这需要O（m）时间。
2. 从股息中减去该结果。这需要O（m）时间。它不依赖于n，因为您不需要从股息的每个数字中减去它。

计算复杂度不取决于股息的大小。例如，如果要计算1/3至5位（.33333），将需要5次迭代，但是如果要计算20位（.33333333333333333333），则将需要20次迭代。

除数中的位数实际上也不是因数。假设您要计算1 / pi，并且希望结果精确到4位。您不需要pi的每一位来计算它（这很方便，因为有很多！）。您可以忽略除数以外的所有数字，但前几位（其中几位约为q）。在这种情况下，使用pi的4个最高有效数字就可以将1 / pi精确到4个位置：1 / 3.141〜= 0.3183（在上下文中，具有20位数字的1 / pi为0.31830988618379067153153）。

因此，您需要进行q次迭代，并且每次迭代中都有O（q）个工作，因此长除法的计算复杂度为O（q ^ 2）。