在CSLR第199页中，他们说：
引理8.4：给定n个b位数和任何正整数r＆lt; = b，如果稳定排序，则RADIX-SORT在O（（b / r）（n + 2 ^ r））时间内正确排序这些数字它使用O（n + k）时间作为0到k范围内的输入。
作为理解这一点的一个例子，有以下内容，我跟随我认为的CSLR推理（并提出问题）：
我们从n个32位数字开始（b = 32）。我们有n个数字可以取值0到2 ^ 32 - 1.如果我们运行radix-sort，它将涉及一次遍历数字，其中count-sort与变量k一起使用（表示范围0到k）其中n个数字等于2 ^ 32-1。计数排序是O（n + k），所以如果k>＆gt; n，对于可变大小的n，我们的运行时间非常糟糕。
我们现在所做的是将每个32位数字分成四个8位数字。这意味着r = 8，因此这四个数字中的每一个现在具有0到2 ^ 8-1 = 255的范围.d = b / r = 32/8 = 4是n个数中的每一个中的数字位数。
我的第一个问题是：我们可以将数字256视为四个8位数字中每一个的新基数吗？我们现在有四个256位数吗？
现在当我们使用基数排序时，我们必须做四次传递而不是一次传递（计数排序使用四次）。每次传递都是O（n + k），但现在k是2 ^ 8 - 1 = 255而不是2 ^ 32 - 1.所以总运行时间是O（4 *（n + 255）。
因此，当我们将初始数字拆分为较小的r位数时，我们会增加基数排序次数，但会减少计数排序中的值范围。似乎有一个最佳的r，可以最大限度地减少运行时间。
**第二个问题：第99页有一个段落似乎认为r的这个值可以使表达式O（（b / r）（n + 2 ^ r））最小化。有人可以提供更好的解释吗？我无法理解它。 **
对于给定的n和b值，我们希望用r选择r的值 ＆lt; = b，使表达式（b / r）最小化（n + 2 ^ r）。如果b < LG（N）， 那么对于任何r＆lt; = b的值，我们得到（n + 2 ^ r）= O（n）。从而， 选择r = b产生的运行时间为（b / b）（n + 2 ^ b），即 渐近最优。如果b> = lg（n），则选择r = lg（n） 给出了恒定因子内的最佳时间，我们可以看到 如下。选择r = lg（n）产生O（bn / lg（n））的运行时间。如 我们将r增加到高于lg（n），分子中的2 ^ r项增加 比分母中的r项更快，因此增加r以上 lg（n）产生Omega的运行时间（bn / lg（n））。如果相反，我们去了 将r降低到lg（n）以下，则b / r项增加，n + 2 ^ r 术语保留在O（n）。
在麻省理工学院开放式课件（第7讲课程笔记）中，在他们的一门算法课程中，他们将最小化显示略有不同： count-sort在O（n + b）中运行，其中b是表示数字的基数。因此，如果n个数字在0到k的范围内，则每个数字具有k个数字的d = log base b，其中每个数字是0到b-1之间的数字。所以b现在是CSLR的前一个例子中的k。基数排序进行计数排序，因此总运行时间为O（d（n + b））= O（（n + b）*（k的基数b））。当b被选择为n时，这被最小化。 这与上面关于同一主题的CSLR讨论有何关联。
答案 0 :(得分：1)
部分答案在这里。第一个问题 - 256将是基数，并且在32位整数中将有四个8位数字。从文章中遗漏的是，它需要对数据进行一次读取传递以创建计数矩阵，然后将其转换为索引（或指针）矩阵。在这种情况下，矩阵是[4] [256]。创建矩阵后，需要4个读/写基数排序传递来对数据集进行排序。
第二个问题 - 对于基于数学的解释，（b / r）的导数（n + 2 ^ r）=（b（2 ^ r（r log（2） - 1） - n））/ r ^ 2。当导数== 0时出现最小值（或最大值），这发生在2 ^ r（r log（2） - 1） - n = 0时。对于n == 2 ^ 20（约1百万），r~ = 16.606232导致O（）〜= 2212837.一些示例值和O（）：
r O
18 2330169
17 2220514
16 2228224
15 2306867
12 2807125
8 4195328
但是，由于缓存问题，r与n的最佳值变小。在我的系统（Intel 2600K，3.4ghz）上，对于n = 2 ^ 20，r = 8是最快的。在n = 2 ^ 24附近，r = 10.67，使用3个场10,11,11是最快的。在n = 2 ^ 26附近，r = 16是最快的。同样，由于缓存问题，性能没有太大差异，r = 8与r = 16相比不到10％。