如何在特殊条件下找到最短路径成本？

Question

给定加权有向图G =（V，E），源顶点s，目标顶点t和子集v'，如何在图中找到从s到顶点t的最短非循环路径？子集中的顶点必须包含在路径中。

Answer 1

这是Traveling Salesman Problem (TSP)的变体。

您可以通过在图表中运行所有到最短的路径（Floyd Warshall Algorithm）将您的问题转换为TSP的确切实例，然后创建一个新图表：

G'={V' U {s,t}, E'}
V' - the "must go through" subset
E' = { (s,v), (v,t), (u,v) | u,v in V'}  (In words: all edges between two nodes in the new graphs)

现在，找到通过G'中所有节点（TSP）的miminal路径，也是满足条件的最小路径（在两对之间的每条路径之后）。

不幸的是，TSP是NP-Complete问题（没有已知的多项式时间算法来解决它，而且大多数人认为一个甚至不存在），除非你的“必须通过节点”{{1相对较小（并且您可以承受算法的指数时间运行时间），您需要确定一个“足够好”的算法，这可能不是最佳的。

关于“无循环”的旁注 - 注意它可能是不可行的，例如：

V'

在此示例中，符合条件的唯一途径是 --------- | | v | s -> a -> b -> c | | t