Question

我已经了解到可以通过遵循某些规则检查8拼图的可解性。 https://www.cs.bham.ac.uk/~mdr/teaching/modules04/java2/TilesSolvability.html

http://ldc.usb.ve/~gpalma/ci2693sd08/puzzleFactible.txt

我的问题是这种可解决性检查是否仅适用于目标状态（解决方案）是否按正确的升序排列？示例：

   Start state
    3   1   5 
    6   0   4 
    2   7   8

    Goal state1        Goal State2
    3   1   5           1   2   3
    6   4   8           4   5   6
    2   0   7           7   8   0

现在我的观察是，如果目标状态是示例中的目标状态2，则可解决性检查将起作用。但如果目标状态是目标状态1，它将无效。

Answer 1

反转计数可以是奇数或偶数，简而言之，我们可以将状态称为偶数或奇数。这称为州的奇偶校验。如果开始状态是偶数，那么它是可解的。在引用的文章中，这确实意味着目标必须是具有增量顺序的目标。

但实际上有两类国家（基于平价），你只能通过合法行动保持在这两类中的一类 - 即当你做出合法行动时，平价是不变的 - 这个原则可以扩展到任何目标状态：

如果起始状态的奇偶校验与目标状态的奇偶校验相同，那么它是可达的（可解的）。

在给出的示例状态中，起始状态为奇数，并且第一个目标状态为奇数。所以他们属于同一个班级，而另一个班级可以到达。

这是JavaScript中奇偶校验的简单实现。它适用于均匀尺寸的网格：

function parity(grid) {
    var inversions = 0;
    // take copy and remove blank (0) from it.
    var arr = grid.slice(0);
    arr.splice(arr.indexOf(0), 1);
    // perform sort and count swaps
    for (var i = 1; i < arr.length; i++) {
        for (var j = i - 1; j >= 0; j--) {
            if (arr[j] <= arr[j+1]) break;
            [arr[j+1], arr[j]] = [arr[j], arr[j+1]];
            inversions++;
        };
    }
    if (grid.length % 2 == 0) { // even grid width
        var size = Math.round(Math.sqrt(grid.length));
        var blankRow = Math.floor((grid.length - 1 - grid.indexOf(0)) / size);
        inversions += blankRow;
    }
    return inversions & 1; // only odd/even is needed as info
}

document.querySelector('button').onclick = function() {
    var res = '';
    var txt = document.querySelector('textarea');
    var grid = txt.value.trim().split(/[,\s]+/g).map(Number);
    var size = Math.round(Math.sqrt(grid.length));
    var res = size*size !== grid.length
            ? 'input is not a complete square matrix of data'
            : 'parity = ' + parity(grid);
    document.querySelector('pre').textContent = res;
}

Enter grid. 0 represents empty slot.<br>
<textarea rows=4>3   1   5 
6   0   4 
2   7   8
</textarea><button>Verify</button><br>
<pre></pre>

Answer 2

是的，确实有效。这是展示这一点的一种非常微不足道的方式。只需将解决方案中的值映射到让我们说你的GoalState2的值，检查有效：

state we want to reach   Goal State2
3   1   5                1   2   3
6   4   8                4   5   6
2   0   7                7   8   0

map:
3 -> 1
1 -> 2
3 -> 5
...

现在将此表应用于您的开始状态，方法是将每个值替换为它映射到的值，以您过去对GoalState2的方式解决整个问题，并反转最终状态的映射。如果它存在，那么你有你想要的结果。只需使用简单的重新映射，就可以重用可解性规则而无需改变它。

说明这是如何运作的：

state we want to reach   Goal State2
3   1   5                1   2   3
6   4   8                4   5   6
2   0   7                7   8   0

build map

map:
3 -> 1
1 -> 2
3 -> 5
...

Start state
3   1   5   apply map  1  2  3  solve for  1  2  3  apply        3  1  5
6   0   4   -------->  4  8  5  -------->  4  5  6  --------->   6  4  8
2   7   8              7  0  6   GoalS2    7  8  0  reverse map  2  0  7

这是解决它的最微不足道的方式。只需将数字视为没有任何意义的标签，您已经完成了一半。

对于更复杂的答案，让您更好地了解规则本身，请查看@trincots答案。

8个拼图可解决性规则是否适用于任何目标状态？

2 个答案: