8难题：可解决性和最短的解决方案

Question

我使用广度优先搜索构建了一个8拼图求解器。我现在想要修改代码以使用启发式。如果有人能回答以下两个问题，我将不胜感激：

可解性

我们如何确定8拼图是否可以解决？ （给定起始状态和目标状态） 这就是维基百科所说的：

  

不变量是所有16个方格加上的排列的奇偶性   出租车距离的平价（行数加上数量）   列右下角的空方块。

不幸的是，我无法理解这意味着什么。理解起来有点复杂。有人可以用更简单的语言解释它吗？

最短解决方案

鉴于启发式，是否可以保证使用A *算法提供最短的解决方案？更具体地说，打开列表中的第一个节点是否总是具有深度（或运动次数如此之大），这是打开列表中所有节点深度的最小值？

启发式是否满足上述陈述的某些条件是真的？

编辑：可接受的启发式方法如何始终提供最佳解决方案？ 我们如何测试启发式是否可以接受？

我将使用列出here

的启发式方法

Manhattan Distance 
Linear Conflict 
Pattern Database 
Misplaced Tiles
Nilsson's Sequence Score 
N-MaxSwap X-Y 
Tiles out of row and column

---

来自Eyal Schneider的澄清：

---

Answer 1

我只会提到可解决性问题。需要一些排列背景。

排列是有序集的重新排序。例如，2134是列表1234的重新排序，其中1和2交换位置。置换具有奇偶性;它指的是倒数的奇偶性。例如，在下面的排列中，您可以看到正好存在3个反转（23,24,34）：

1234
1432

这意味着排列具有奇数奇偶校验。以下排列具有偶数奇偶校验（12,34）：

1234
2143

当然，身份置换（保持项目顺序）具有均衡性。

如果我们从第一行开始将它看作行的串联，那么15拼图（或8拼图）中的任何状态都可以被视为最终状态的排列。请注意，每个合法移动都会更改排列的奇偶性（因为我们交换了两个元素，并且涉及它们之间的项的反转数必须是偶数）。因此，如果您知道空方必须经过偶数步骤才能达到其最终状态，那么排列也必须是偶数。否则，你将以最终状态的奇数排列结束，这必然与它不同。与空方块的奇数步数相同。

根据您提供的维基百科链接，上述标准对于可以解决的特定谜题来说已经足够且必要。

Answer 2

A *算法 保证找到（如果有多个相同的短的那个）最短的解决方案，如果你的启发式总是低估实际成本（在您的情况下，需要移动到解决方案的实际数量）。

但是在飞行中我无法为你的问题找到一个好的启发式方法。这需要一些思考来找到这样的启发式。

使用A *的真正艺术是找到一种始终低估实际成本的启发式算法，但尽可能少地加快搜索速度。

---

这种启发式的第一个想法：

1. 在我的脑海中突然出现了一个非常有效但是有效的启发式算法，就是空旷地点到最终目的地的距离。
2. 每个字段与其最终目的地的平均距离之和除以可在一次移动中改变位置的最大字段数。 （我认为这是一个非常好的启发式方法）

Answer 3

我将尝试回答与“最短解决方案”部分相关的问题。如果启发式是可允许的（即，永远不会过高估计到最近目标的路径成本），则保证A *树搜索算法是最优的（即，如果存在，则找到最短路径）。形式上，如果对于每个节点n，0＆lt; = h（n）＆lt; = h *（n），则启发式h是可接受的，其中h *（n）是从n到达最近目标的确切成本。

然而，A *树搜索最终可能会进行指数级重复的工作。我们需要一种方法来关闭扩展节点，以便它们不会再次展开，从而产生图搜索算法。只有当使用的启发式是一致的时，A *图搜索才是最佳的，即，它逐渐估计路径成本，因此沿路径的启发式值永远不会减少。形式上，如果对于每个节点n和对于n的每个后继s，启发式h是一致的，h（n）<= h（p）+ cost（n，p）。

曼哈顿距离是8拼图问题的一致启发式算法，A *图搜索，如果有启发式的话，它将配备曼哈顿距离，确实会找到最短的解决方案。

我已经写了A *搜索的详细解释，并在这里使用A *提供了N-puzzle问题的python实现：A* search explanation and N-puzzle python implementation

Answer 4

对于任何一个人来说，我将尝试解释OP如何得到价值对以及他如何确定突出的那些，即反转，因为我花了几个小时来弄明白。首先是对。 首先采取目标状态并将其想象为一维数组（例如A） [1,2,3,8,0,4,7,5]。该数组中的每个值在表中都有自己的列（一直向下，这是该对的第一个值。） 然后在数组中向右移动1个值（i + 1）并再次向下移动，第二对值。例如（状态A）：第一列，第二个值将开始[2,3,8,0,4,7,5]下降。第二栏，将开始[3,8,0,4,7,5]等。

现在可以进行反转。对于2对值中的每一个，在起始状态中找到它们的 INDEX 位置。如果左 INDEX ＆gt;右 INDEX 然后它是一个反转（突出显示）。前四对状态A是：（1,2），（1,3），（1,8），（1,0）
1是索引3
2是在索引0
3> 0如此倒置。

1是3
3是2
3> 2如此倒置

1是3
8是1
3> 2如此倒置

1是3
0是7
3＆lt; 7所以无倒置

对每对进行此操作并计算总反转次数。 如果偶数或两者都是奇数（曼哈顿距离的空白点和总反转） 那么它是可以解决的。希望这有帮助！