如何在MATLAB中选择高斯消元法求解Ax = b？

Question

我有一个关于求解线性方程Ax=b的问题，其中x未知，A是方阵NxN和非奇异矩阵。

矢量x可以通过

解决

x=inv(A)*b 

或

x=A\b 

在Matlab中，'\'命令调用一种算法，该算法取决于矩阵A的结构，并包括对A的属性的检查（小开销）。因此，它高度依赖于A结构。但是，A结构是未知的（即随机矩阵）。我想测量上述方程的复杂性。因此，为了公平比较，我需要修复我使用的方法。在这种情况下，我选择具有复杂度O(N^3)的高斯消元（GE）。我的问题是如何选择/修复方法（即GE）来解决上述方程？

Answer 1

一种方法是计算LU因子分解（假设A不对称）

{nnet}

其中L是具有单位对角线的下三角矩阵的排列，U是上三角形。这相当于高斯消元法。 然后，当你解决Ax = b时，你实际上先执行Ly = b然后执行Ux = y。 重要的是解决这些线性系统基本上是O（n ^ 2），而计算因子分解是O（n ^ 3）。因此，如果n很大，您只需测量计算LU分解所需的时间。

对于随机矩阵，您可以看到LU分解的复杂性，如

[L,U] = lu(A)

（将＆＃34; 4＆＃34;更改为更大或更小的内容，具体取决于您的电脑）。 在我的笔记本电脑上，我有这个结果

其中3的斜率（因此，O（n ^ 3）复杂度）相当清楚。