灯泡开关问题：
您将获得少量开关和几个灯泡，不一定相同，每个按钮可以连接到多个灯泡，当开关打开时，它会打开已经关闭和关闭已经开启的灯泡。我们需要通过切换这些开关来找到是否可以点亮所有灯泡？
我们可以在O（2 ^ n.n.m.x）中强制解决这个问题（n，开关的数量; m，总灯泡; x，任何开关打开的灯泡的最大数量）。我们尝试所有开关O（2 ^ n）的组合，并在从所选开关O（n.x）开启所有灯泡后检查所有灯泡是否都在O（m）上
这可以在非取幂时间内完成，也许是启发式的。 这有点与集合打包和集合覆盖问题有关，而且两者似乎都只有近似算法（NP-hard，IIRC）
答案 0 :(得分：3)
答案是“是”，你可以在O（min（（m ^ 2）n，（n ^ 2）m））时间内解决这种难题。
您的问题可以被视为整数mod 2的matrix，其中乘法变为布尔“和”，并且加法是布尔“xor”。
为了使事情更具体：您可以将“原始”灯泡状态（关闭所有开关）表示为布尔列向量，将每个开关的状态表示为另一个布尔向量，并将每个开关切换为的灯泡组表示为布尔矩阵的对应列：
output original matrix switches
[v] [u] [m m m m m m] [x]
[v] = [u] + [m m m m m m] * [x]
[v] [u] [m m m m m m] [x]
[x]
[x]
这是整数mod 2下的一组线性方程式，您可以使用经过适当修改的标准linear equation solvers来有效地解决此类问题。
请注意，这样做的原因是翻转开关总是切换同一组灯泡。如果不是这种情况，那么等式不是线性的，你无法用这种方式解决它。一般来说，如果你在这类问题中将“或”与“和”混合在一起，你可能会对"SAT" problem有一些变异，这是NP完全的。
答案 1 :(得分：1)
琐碎案例，X = 1
对于x = 1的简单情况，其中每个开关只能控制一个灯泡，这是O（N），因为您只需要切换所有开关并检查所有灯是否都亮（这两个是单独的O（N） ）操作，或者更确切地说，O（n）和O（m））。
非平凡案例，X＆gt; 1
对于x> 1，这不能在线性或多项式时间内完成 - 它至少是指数的，但更可能更糟糕，因为任何给定开关的效果与任何其他给定开关的效果不直接相关。给定开关A，不要求开关B影响或不影响任何与开关A相同的灯。它可能，但也可能不会。因此，开关之间的关系不可能减少。
这是一个标准排列问题，可以直接映射到任何其他主要排列问题，因此相同的非多项式O（）（非多项式=指数或更差）对此都是正确的。
<强>费用
最佳情况似乎是O（m 2 ^ n），使用相当于二进制计数但使用开关而不是位，检查每个可能的开关组合并测试是否所有灯都亮。请注意，有多少灯＆＃39; x＆＃39;可能会受到影响并不会对此解决方案发挥作用，因为尝试这样做实际上会增加计算的总体O（）成本，并且实际上并不影响结果。
解决此问题的一些方法实际上会增加O（），例如求解线性方程组，至少为O（（x n）^（x n）），可能更多，因为它是一种概率关系。这是因为在任何给定的开关和任何给定的光之间没有线性关系，除了在第一个平凡的x = 1的例子中，所以每个＆＃34;变量＆＃34;在线性方程组中，必须代表与灯光相互作用的每种可能组合。
关于通过成本简化/优化的一些想法
在软件中实现它的一种更简单的方法是，由于表示更简单，现代计算硬件上的某些n，m，x可能更快，但在O（（m + n）！）处估计的最大成本更高，可以从开关和灯之间的关系中得出：任何给定的灯都将是＆＃34; on＆＃34;当且仅当开关数量为＆＃34; on＆＃34;这会影响光线是奇数（第一个打开它，第二个打开它，等等）。这需要在m个灯中找到跨越n个切换图（其中每个切换图表示开关对灯的影响）的置换，其中每个灯具有影响它的2q + 1个开关，对于q> = 0。
然而，对于非常大的n，m切换每个开关和测试解决方案的简单二进制计数方法可能是最快的，因为它只是2的幂。