Question

我正在为2D PDE问题实现有限差分方案。我希望避免使用循环来生成有限差分。例如，为了生成u（x，y）_xx的二阶中心差，我可以将u（x，y）乘以以下：

是否存在u_xy =（u_ {i + 1，j + 1} + u_ {i-1，j-1} - u_ {i-1，j + 1} - u_ {i +的矩阵表示1，J-1}）/（4dxdy）？在2D中进行编码是一个更难的问题 - 我想将一些矩阵乘以u（x，y）以避免循环。非常感谢！

Answer 1

如果您的点存储在N-by-N矩阵中，那么，如您所说，左侧乘以您的有限差分矩阵，得出与u_{xx}相关的二阶导数的近似值。右边乘以有限差分矩阵的转置等价于近似值u_{yy}。你可以通过左乘和右乘乘以得到混合导数u_{xy}的近似值。中心差异矩阵

delta_2x =

     0     1     0     0     0
    -1     0     1     0     0
     0    -1     0     1     0
     0     0    -1     0     1
     0     0     0    -1     0

（然后除以因子4*Dx*Dy），所以类似

U_xy = 1/(4*Dx*Dy) * delta_2x * U_matrix * delta_2x';

如果将矩阵转换为N^2向量

U_vec = U_matrix(:);

然后可以使用Kronecker product表示这些运算符，在MATLAB中实现为kron：我们有

A*X*B = kron(B',A)*X(:);

所以你的有限差分矩阵

U_xy_vec = 1/(4*Dx*Dy)*(kron(delta_2x,delta_2x)*U_vec);

如果你有一个N-by-M矩阵U_mat，那么左矩阵乘法相当于kron(eye(M),delta_2x_N)而右乘乘以kron(delta_2y_M,eye(N))，其中delta_2y_M（{ {1}}）是delta_2x_N（M-by-M）中央差异矩阵，因此操作

N-by-N

这是一个MATLAB代码示例：

U_xy_vec = 1/(4*Dx*Dy) * kron(delta_2y_M,delta_2y_N)*U_vec;

Answer 2

你可以自己创建矩阵，但在Matlab中有tridiag用于此目的。

例如

>> full(gallery('tridiag',5,-1,2,-1))

ans =

 2    -1     0     0     0
-1     2    -1     0     0
 0    -1     2    -1     0
 0     0    -1     2    -1
 0     0     0    -1     2

Answer 3

使用MATLAB中提供的稀疏功能来生成有限差分近似矩阵是一个不错的选择..它可以节省很多（实际上非常多）内存......

矩阵生成有限差分

3 个答案: