Python有限差分函数？

Question

我一直在Numpy / Scipy中寻找包含有限差分函数的模块。然而，我发现的最接近的是numpy.gradient()，这对于二阶精度的一阶有限差分是有利的，但如果你想要更高阶导数或更准确的方法则不是那么多。我甚至没有为这类事情找到很多具体的模块;大多数人似乎都在做他们需要的“自己动手”的事情。所以我的问题是，是否有人知道任何模块（Numpy / Scipy的一部分或第三方模块）专门用于高阶（精度和衍生）有限差分方法。我有自己的代码，我正在处理它，但它目前有点慢，如果有可用的东西，我不会尝试优化它。

请注意，我说的是有限差异，而不是衍生品。我见过scipy.misc.derivative()和Numdifftools，它们都是分析函数的衍生物，我没有。

Answer 1

快速做到这一点的一种方法是使用高斯核的导数进行卷积。简单的情况是你的数组与[-1, 1]的卷积，它给出了简单的有限差分公式。除此之外，(f*g)'= f'*g = f*g' *是卷积的，所以你最终得到的是你的导数与普通的高斯卷积，所以这当然会使你的数据平滑一点，这可以通过选择最小的数据来最小化合理的内核。

import numpy as np
from scipy import ndimage
import matplotlib.pyplot as plt

#Data:
x = np.linspace(0,2*np.pi,100)
f = np.sin(x) + .02*(np.random.rand(100)-.5)

#Normalization:
dx = x[1] - x[0] # use np.diff(x) if x is not uniform
dxdx = dx**2

#First derivatives:
df = np.diff(f) / dx
cf = np.convolve(f, [1,-1]) / dx
gf = ndimage.gaussian_filter1d(f, sigma=1, order=1, mode='wrap') / dx

#Second derivatives:
ddf = np.diff(f, 2) / dxdx
ccf = np.convolve(f, [1, -2, 1]) / dxdx
ggf = ndimage.gaussian_filter1d(f, sigma=1, order=2, mode='wrap') / dxdx

#Plotting:
plt.figure()
plt.plot(x, f, 'k', lw=2, label='original')
plt.plot(x[:-1], df, 'r.', label='np.diff, 1')
plt.plot(x, cf[:-1], 'r--', label='np.convolve, [1,-1]')
plt.plot(x, gf, 'r', label='gaussian, 1')
plt.plot(x[:-2], ddf, 'g.', label='np.diff, 2')
plt.plot(x, ccf[:-2], 'g--', label='np.convolve, [1,-2,1]')
plt.plot(x, ggf, 'g', label='gaussian, 2')

由于您提到np.gradient我假设您至少有2d数组，因此以下内容适用于：如果您想为ndarrays执行此操作，则内​​置于scipy.ndimage包中。但要小心，因为当然这不会给你完整的渐变但我相信所有方向的产物。有更好专业知识的人希望能说出来。

以下是一个例子：

from scipy import ndimage

x = np.linspace(0,2*np.pi,100)
sine = np.sin(x)

im = sine * sine[...,None]
d1 = ndimage.gaussian_filter(im, sigma=5, order=1, mode='wrap')
d2 = ndimage.gaussian_filter(im, sigma=5, order=2, mode='wrap')

plt.figure()

plt.subplot(131)
plt.imshow(im)
plt.title('original')

plt.subplot(132)
plt.imshow(d1)
plt.title('first derivative')

plt.subplot(133)
plt.imshow(d2)
plt.title('second derivative')

使用gaussian_filter1d可以沿某个轴获取方向导数：

imx = im * x
d2_0 = ndimage.gaussian_filter1d(imx, axis=0, sigma=5, order=2, mode='wrap')
d2_1 = ndimage.gaussian_filter1d(imx, axis=1, sigma=5, order=2, mode='wrap')

plt.figure()
plt.subplot(131)
plt.imshow(imx)
plt.title('original')
plt.subplot(132)
plt.imshow(d2_0)
plt.title('derivative along axis 0')
plt.subplot(133)
plt.imshow(d2_1)
plt.title('along axis 1')

上面的第一组结果对我来说有点混乱（当曲率应该指向 down 时，原始峰值显示为二阶导数中的峰值）。如果不进一步了解2D版本的工作原理，我只能推荐1d版本。如果你想要这个幅度，只需做一些像：

d2_mag = np.sqrt(d2_0**2 + d2_1**2)

Answer 2

绝对喜欢askewchan给出的答案。这是一项很棒的技巧。但是，如果您需要使用numpy.convolve，我想提供一个小修补程序。而不是做：

#First derivatives:
cf = np.convolve(f, [1,-1]) / dx
....
#Second derivatives:
ccf = np.convolve(f, [1, -2, 1]) / dxdx
...
plt.plot(x, cf[:-1], 'r--', label='np.convolve, [1,-1]')
plt.plot(x, ccf[:-2], 'g--', label='np.convolve, [1,-2,1]')

...使用'same'中的numpy.convolve选项，如下所示：

#First derivatives:
cf = np.convolve(f, [1,-1],'same') / dx
...
#Second derivatives:
ccf = np.convolve(f, [1, -2, 1],'same') / dxdx
...
plt.plot(x, cf, 'rx', label='np.convolve, [1,-1]')
plt.plot(x, ccf, 'gx', label='np.convolve, [1,-2,1]')

...避免一个索引错误。

绘图时还要注意x-index。 numy.diff和numpy.convolve中的点数必须相同！要修复off-by-one错误（使用我的'same'代码），请使用：

plt.plot(x, f, 'k', lw=2, label='original')
plt.plot(x[1:], df, 'r.', label='np.diff, 1')
plt.plot(x, cf, 'rx', label='np.convolve, [1,-1]')
plt.plot(x, gf, 'r', label='gaussian, 1')
plt.plot(x[1:-1], ddf, 'g.', label='np.diff, 2')
plt.plot(x, ccf, 'gx', label='np.convolve, [1,-2,1]')
plt.plot(x, ggf, 'g', label='gaussian, 2')

使用s / bot / by / g编辑更正的自动完成

Answer 3

另一种方法是区分数据的插值。这是由unutbu提出的，但我没有看到这里使用的方法或任何链接的问题。例如，来自scipy.interpolate的{​​{3}}有一个有用的内置派生方法。

import numpy as np
from scipy.interpolate import UnivariateSpline
import matplotlib.pyplot as plt

# data
n = 1000
x = np.linspace(0, 100, n)
y = 0.5 * np.cumsum(np.random.randn(n))

k = 5 # 5th degree spline
s = n - np.sqrt(2*n) # smoothing factor
spline_0 = UnivariateSpline(x, y, k=k, s=s)
spline_1 = UnivariateSpline(x, y, k=k, s=s).derivative(n=1)
spline_2 = UnivariateSpline(x, y, k=k, s=s).derivative(n=2)

# plot data, spline fit, and derivatives
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111)

ax.plot(x, y, 'ko', ms=2, label='data')
ax.plot(x, spline_0(x), 'k', label='5th deg spline')
ax.plot(x, spline_1(x), 'r', label='1st order derivative')
ax.plot(x, spline_2(x), 'g', label='2nd order derivative')

ax.legend(loc='best')
ax.grid()

注意样条曲线的峰和谷处的一阶导数（红色曲线）的过零点（黑色曲线）。

UnivariateSpline

Answer 4

您可能需要查看findiff project。我自己尝试了它，它让你方便地得到任何维度，任何衍生订单和任何所需精度订单的numpy数组的衍生物。项目网站说它的特点是：

• 区分沿任意轴的任意数量维度的数组
• 任何所需订单的部分衍生产品
• 矢量微积分的标准算子，如梯度，发散和卷曲
• 可以处理均匀和不均匀的网格
• 可以处理具有常数和变量系数的导数的任意线性组合
• 可以指定准确性顺序
• 完全矢量化速度
• 计算均匀和非均匀网格的任何顺序和精度的原始有限差分系数