这个二分图优化任务NP完成吗？

Question

我一直试图找出一个多项式时间算法来解决这个问题，但是徒劳无功。我不熟悉NP完全的东西。只是想知道这个问题是否实际上是NP完全的，我不应该浪费任何进一步的努力试图提出一个多项式时间算法。

这个问题很容易描述和理解。给定bipartite graph，您必须从一个顶点集中选择最小顶点数，例如A，以便B中的每个顶点与至少一个选定顶点相邻。

Answer 1

不幸的是，这是NP难的;从Set Cover轻松减少（实际上它可以说是表达同一问题的另一种方式）。在Set Cover中，我们给出了一个地面集F，一个F子集的集合C和一个数字k，我们想知道我们是否可以通过选择最多k个集来覆盖F的所有n个地面集元素。 C.为了减少这个问题：在B中为每个地面元素创建一个顶点，在A中为C中的每个集合创建一个顶点，并在地面元素v在集合u中时添加边缘uv。如果有一些算法可以有效地解决你描述的问题，它可以解决我刚刚描述的实例，它会立即解决原始的Set Cover问题（已知是NP-hard）。

有趣的是，如果允许我们从整个图形中选择顶点 （而不仅仅是从A），那么使用二分最大匹配算法可以在多项式时间内解决问题，因为{{3} }。