Question

特别是在同一类型的一维项目集的域中，例如整数向量。

例如，假设您有一个大小为32,768的向量，其中包含0到32,767的有序整数。

我的意思是“下一个排列”是在词法排序系统中执行下一个排列。

维基百科lists two，我想知道是否还有更多（除了bogo：P）

Answer 1

O（N）实施 这是基于Eyal Schneider的映射Zn！ - ＆GT; P（n）的

def get_permutation(k, lst):
    N = len(lst)
    while N:
        next_item = k/f(N-1)
        lst[N-1], lst[next_item] = lst[next_item], lst[N-1]
        k = k - next_item*f(N-1)
        N = N-1
    return lst

通过将转换步骤与找到置换相结合，减少了他的O（N ^ 2）算法。它基本上与Fisher-Yates具有相同的形式，但在映射的下一步中将随机调用替换为随机。如果映射实际上是一个双射（我正在努力证明），那么这是一个比Fisher-Yates更好的算法，因为它只调用伪随机数发生器一次，因此效率更高。还要注意，这会返回置换的动作（N！ - k）而不是置换k，但这没什么影响，因为如果k在[0，N！]上是均匀的，那么N也是如此！ - k。

旧回答

这与“下一个”排列的想法有些相关。如果项目可以很好地排序，则可以在排列上构建词典排序。这允许您构建从整数到排列空间的映射。

然后找到随机排列相当于选择0到N之间的随机整数！并构建相应的排列。该算法与计算所讨论的集合的第n个排列一样有效（并且难以实现）。如果我们对n的选择是均匀的，那么这将简单地给出排列的统一选择。

关于排列排列的更多细节。给定一组S = {a b c d}，数学家将S的排列组合作为一个组来操作。如果p是一个排列，让我们说(b a c d)，那么p通过将b带到a，a到c，c到d和d到b来对S进行操作。如果q是另一种排列，请说(d b c a)然后pq首先应用q然后p获得(d a b)(c)。例如，q将d视为b，p将b视为a，以便pq将d视为a。您会看到pq有两个周期，因为它需要b到d并修复c。习惯上省略1个循环，但为了清楚起见，我将其留下了。

我们将使用群论中的一些事实。

不相交的周期通勤。 (a b)(c d)与(c d)(a b)
我们可以按任何循环顺序排列循环中的元素。那是(a b c) = (b c a) = (c a b)

因此，给定一个排列，对循环进行排序，以便最大的循环首先出现。当两个周期长度相同时，安排他们的项目，以便最大的（我们总是可以订购一个可数集，即使是任意的）项目首先出现。然后我们首先对周期的长度进行词典排序，然后是内容。这是有序的，因为由相同周期组成的两个排列必须是相同的排列，所以如果p > q和q > p那么p = q。

该算法可以在O（N！logN！+ N！）时间内轻松执行。只是构建所有的排列（编辑：只是为了清楚，当我提出这个问题时，我的数学家戴上了帽子，无论如何它都是舌头），快速排序并找到第n个。这是一个与你提到的两个算法不同的算法。

Answer 2

以下是关于如何改善 aaronasterling 的答案的想法。它避免产生所有N！排列并根据其词典顺序对它们进行排序，因此具有更好的时间复杂度。

在内部，它使用一种不寻常的排列表示，模拟选择＆amp;从缩小的数组中删除进程。例如，序列＆lt; 0,1,0＆gt;表示从[0,1,2]中删除项目＃0，然后从[1,2]中删除项目＃1，然后从[1]中删除项目＃0所产生的排列。得到的排列是＆lt; 0,2,1＆gt;。利用该表示，第一置换将始终为＆lt; 0,0，... 0＆gt;，并且最后一个将始终为＆lt; N-1，N-2，... 0＆gt;。我将这个特殊表示称为“数组表示”。

显然，通过使用数组并在必要时缩小它，可以在O（N ^ 2）时间内将大小为N的数组表示转换为标准置换表示。

以下函数可用于在数组表示中返回{0,1,2 ...，N-1}上的Kth置换：

getPermutation(k, N) {
    while(N > 0) {
        nextItem = floor(k / (N-1)!)
        output nextItem
        k = k - nextItem * (N-1)!
        N = N - 1
    }
}

此算法在O（N ^ 2）时间内工作（由于表示转换），而不是O（N！log N）时间。

- 实施例 -

getPermutation（4,3）返回＆lt; 2,0,0＆gt;。该数组表示对应于＆lt; C，A，B＆gt;，它实际上是{A，B，C}上排列的有序列表中索引4处的排列：

ABC
ACB
BAC
BCA
CAB
CBA

Answer 3

您可以调整合并排序，使其随机调整输入而不是对其进行排序。

特别是，在合并两个列表时，您可以随机选择新的head元素，而不是选择它作为最小的head元素。从第一个列表中选择元素的概率必须为n/(n+m)，其中n是第一个的长度，m第二个列表的长度为此。

我在这里写了详细的解释：Random Permutations and Sorting。

Answer 4

另一种可能性是建立一个LFSR或PRNG，其周期等于你想要的项目数。

Answer 5

从排序数组开始。选择2个随机索引，在这些索引处切换元素。重复O（n lg n）次。

您需要重复O（n lg n）次以确保分布接近均匀。（您需要确保每个索引至少被选中一次，这是一个滚球问题。）

除了Fisher-Yates之外还存在什么改组算法并找到“下一个排列？”

5 个答案: