计算三次贝塞尔曲线的拐点？

Question

我有四个点构成一个三次贝塞尔曲线：

P1 = (10, 5)
P2 = (9, 12)
P3 = (24, -2)
P4 = (25, 3)

现在我想找到这条曲线的拐点。我用Google搜索和/但每个人都指的是一个网站：http://www.caffeineowl.com/graphics/2d/vectorial/cubic-inflexion.html

不幸的是applet没有工作，我根本没有把它们放在一起。有人可以如此友善地告诉我如何计算曲线的拐点吗？

Answer 1

对于Bezier曲线，您有两个参数方程X（t）和Y（t）。 要确定参数曲线的拐点，您需要找到曲线曲率（wiki）改变符号的位置。所以你需要找到上述函数的第一个和第二个导数并求解方程式：

C(t) = X' * Y'' - X'' * Y' = 0

一阶导数是二次的，第二个导数是线性的，因此对于t，方程式是立方的，最多可以有3个解。

编辑：已阅读相关文章，方程式简化为二次方式，最多可包含2个解决方案。

如果解决方案存在于t范围0..1中，您还必须检查它是否是真正的拐点 - 在此t值处检查C'(t) <> 0。

示例：蓝色圆圈是拐点（两个捕捉）

实际代码片段（Delphi）
鉴于：
P是控制点阵列
Cf是贝塞尔函数基础的系数

P, Cf: array[0..3] of TPoint

//calculate Bezier coefficients
Cf[3].x := p[3].x - 3 * p[2].x + 3 * p[1].x - p[0].x;
Cf[2].x := 3 * (p[0].x - 2 * p[1].x + p[2].x);
Cf[1].x := 3 * (p[1].x - p[0].x);
Cf[0].x := p[0].x;
//the same for Y

//find parameters of quadratic equation
// a*t^2 + b*t + c = 0
a := 3 * (cf[2].X *cf[3].Y - cf[2].Y *cf[3].X);
b := 3 * (cf[1].X *cf[3].Y - cf[1].Y *cf[3].X);
c := cf[1].X *cf[2].Y - cf[1].Y *cf[2].X;

//here solve quadratic equations, find t parameters
//don't forget a lot of special cases like a=0, D<0, D=0, t outside 0..1 range
Discriminant := b * b - 4 * a * c;
....

Answer 2

要详细说明MBo的答案，C(t) = X' * Y'' - X'' * Y' = 0几乎就是你想要的伪代码，因为第一个和第二个导数很容易计算。

关注this explanation of Bezier derivatives，以及坐标为（x1，y1）...（x4，y4）的通用Bezier函数，我们得到：

fx(t) = x1 (1-t)³ + 3·x2·(1-t)²·t + 3·x3·(1-t)·t² + x4·t³
fx'(t) = a·(1-t)² + 2·b·(1-t)·t + c·t²

其中a = 3（x2-x1），b = 3（x3-x2），c = 3（x4-x3），并且：

fx''(t) = u·(1-t) + v·t

其中u = 2（b-a）且v = 2（c-b）。当然，y组件也是如此：

fy(t) = y1 (1-t)³ + 3·y2·(1-t)²·t + 3·y3·(1-t)·t² + y4·t³
fy'(t) = a'·(1-t)² + 2·b'·(1-t)·t + c'·t²
fy''(t) = u'·(1-t) + v'·t

其中a'与a相同，但y值等等。

计算C(t) = fx'(t)·fy''(t) - fx''(t)·fy'(t)的数学计算很烦人，但这就是我们拥有计算机的原因。如果你拥有树莓派，你拥有Mathematica的许可证，那么让我们使用它：

这是一个庞大的公式，但找到了一个随意的变形＆＃34;曲线有点傻，因为Bezier曲线对于线性仿射变换是不变的，所以无论我们检查＆＃34;真实曲线＆＃34;还是等于拐点的t值都保持不变。或者我们是否旋转/平移/缩放曲线以使其具有更方便的坐标。就像翻译一样，（x1，y1）最终为（0,0），而（x4，y4）位于x轴上，因此y4为零。

如果我们这样做，那么我们会得到一个非常简单的公式：

这简单多少了？好：

18 times:
  -     x3 * y2
  + 3 * x3 * y2 * t
  - 3 * x3 * y2 * t^2
  -     x4 * y2 * t
  + 2 * x4 * y2 * t^2
  +     x2 * y3
  - 3 * x2 * y3 * t
  + 3 * x2 * y3 * t^2
  -     x4 * y3 * t^2

由于我们正在进行编程，因此有很多可缓存的值。服用：

a = x3 * y2
b = x4 * y2
c = x2 * y3
d = x4 * y3

我们可以将C(t)简化为：

1/18 * C(t) = -a + 3at - 3at^2 - bt + 2bt^2 + c - 3ct + 3ct^2 - dt^2
= -3at^2 + 2bt^2 + 3ct^2 - dt^2 + 3at - bt - 3ct - a + c
= (-3a + 2b + 3c - d)t^2 + (3a - b - 3c)t + (c - a)

将那个因子18放回去，这只是一个简单的二次公式，我们可以使用二次根同一性和更简单的值来找到根：

v1 = (-3a + 2b + 3c - d) * 18
v2 = (3a - b - 3c) * 18
v3 = (c - a) * 18

而且，如果3a +d 不等于 2b+3c（因为如果是这样的话，就没有根），我们得到：

  sqr = sqrt(v2^2 - 4 * v1 * v3)
    d = 2 * v1
root1 =  (sqr - v2) / d
root2 = -(sqr + v2) / d

扔掉不会落入Bezier区间[0,1]的根，而你剩下的是原始曲线所适应的t值。

  

只是因为我无法将某些东西放在一起，所以我最终得到了一些很好的伪代码。这也是我给出一些点和坐标的原因。我希望看到有人用实数计算这个

特别是在Stackoverflow上，最好不要在前面懒惰，而是承诺可能需要学习新东西。