Java中的随机可逆矩阵

Question

我在一个项目上工作，对于这个项目，我需要生成一个方形随机可逆矩阵。

我发现了如何生成一个方形随机矩阵，我仍然想确定这是一个可逆矩阵，无需计算行列式或多次生成这个矩阵，你能给我一个提示吗？ / p>

Answer 1

一种方法是生成矩阵的SVD。那就是你生成'随机'（正方形）正交矩阵U和V，以及一个'随机'对角矩阵S，然后计算

 M = U*S*V'

请注意，每个矩阵都有一个SVD

只要S的对角元素都不为0，M就是可逆的。处理可逆矩阵的许多例程对矩阵的条件数敏感;随着条件数量的增加，错误往往会增加。 M的条件数与S的条件数相同，S的条件数是S的最大（绝对值）对角线元素除以最小值（绝对值）。你可能想要控制它。一种方法是在[lo，hi]中生成S的元素，然后随机设置符号。

生成“随机”正交矩阵的一种方法是生成“随机”Householder反射的乘积，即形式的矩阵

R_v = 1 - 2*v*v'/(v'*v)

其中v是'随机'向量。 每个n乘n正交矩阵可以写成n个Householder反射的乘积。 所有这一切都不像它最初看起来那么严重。由于反射器的特殊形式，可以直接编写计算

的例程

R_u*M and M*R_v'

在M中仅使用n个额外存储并且为O（n * n）

所以一个方案就是

Generate S
Repeat n times
  Generate random non zero vector u 
  Update S to be R_u*S
  Generate random non zero vector v 
  Update S to be S*R_v'

Answer 2

LU decomposition可能有用。

生成两个矩阵L，它是下三角形，主对角线零点以上的所有条目，U，上三角矩阵，主要对角线零下方有条目。然后形成矩阵A = LU。

L或U的行列式只是主对角线下方的条目的乘积，因此您只需确保这些都不为零。 A的决定因素是两个决定因素的乘积。