在openGL

Question

我试图理解在OpenGL中使用glFrustum()创建的投影矩阵，以及将其带入 x = [ - 的规范化设备坐标的转换1,1] ， y = [ - 1,1] ， z = [ - 1,1] 和 4x4矩阵序列发生的乘法导致

的投影矩阵

我理解最终结果（在NDC中）是在应用连续变换后通过除以 w 组件获得的，但那些连续变换是什么？< / p>

这就是矩阵 T （就近，远，左，中的， top ， down 变量）

这样每个 T 仅代表比例，翻译，轮换或剪切< / strong>运营/转型？

我读了一篇关于Is OpenGL LH or RH和Projection Matrix tutorial的相关帖子，但我仍然对基本操作（即 scale ，< em>翻译，轮换或剪切操作）。

Answer 1

透视变换矩阵不能分解为仅缩放，平移旋转和剪切操作。这些操作都是仿射，而透视转换是投影（这不是仿射;特别是透视不会保留线的并行性）。

“目标体积”是标准化设备空间中的轴对齐立方体。在标准的OpenGL中，它在所有维度中从-1到1（Direct3D，还有Vulkan，使用稍微不同的约定：[-1,1]表示x和y，但[0,1]表示z。这意味着矩阵的第三行看起来有点不同，但概念是相同的。）

构造投影矩阵，使得金字塔平截头体转换为该标准化体积。 OpenGL还使用了在眼睛空间中，相机朝向-z的惯例。要创建透视效果，您只需将每个点投影到一个平面上，方法是将投影中心和相关点的光线与实际观察平面相交。

上面的透视矩阵假设图像平面与xy平面平行（如果你想要一个不同的平面，你可以应用一些仿射旋转）。在OpenGL眼睛空间中，投影中心始终位于原点。当你进行数学运算时，你会发现透视可以归结为截距定理的一个简单实例。如果您想将所有点投影到位于中心前方1个单位的平面（“相机”），您最终会将x和y除以-z。

这可以用矩阵形式写成

(  1   0   0   0 )
(  0   1   0   0 )
(  0   0   1   0 )
(  0   0  -1   0 )

通过设置w_clip = -z_eye来工作，所以当按剪辑空间w进行划分时，我们得到：

 x_ndc = x_clip / w_clip = - x_eye / z_eye
 y_ndc = y_clip / w_clip = - y_eye / z_eye

请注意，这也适用于z：

 z_ndc = z_clip / w_clip = - z_eye / z_eye = 1

这样的矩阵通常不用于渲染，因为深度信息丢失 - 所有点实际上都被投射到单个平面上。通常，我们希望保留深度（可能以某种非线性偏离的方式）。

为此，我们可以调整z（第三行）的公式。由于我们不希望z对x和y有任何依赖性，因此我们只能调整最后一个元素。通过使用表格的一行 (0 0 A B)，我们得到以下等式：

z_ndc =  - A * z_eye / z_eye - B / z_eye = -A - B / z_eye

这只是眼睛空间z值的双曲线变换变体 - 深度仍然保留 - 并且矩阵变得可逆。我们只需要计算A和B.

让我们只调用z_ndc(z_eye) = -A - B / z_eye函数Z(z_eye)。 由于观察体积受z_ndc = -1（前平面）和z_ndc = 1的限制，并且眼睛空间中近和远平面的距离作为参数给出，我们必须映射近平面{{1 }到-1，远平面z_eye=-n到1.要选择A和B，我们必须求解一个由2（非线性）方程组成的系统：

z_eye=-f

这将导致您在矩阵的第三行中找到的两个系数。

对于x和y，我们想要控制两件事：视角的角度和视锥的不对称性（类似于投影仪已知的“镜头移位”）。视场由图像平面上的x和y范围定义，该范围映射到NDC中的[-1,1]。因此，您可以想象在与图像平面平行的任意平面上的轴对齐矩形。此矩形描述了场景中映射到可见视口的部分，距离摄像机的距离。更改视野仅意味着在x和y中缩放该矩形。

从概念上讲，镜头移位只是一种翻译，所以你可能会认为它应该放在最后一栏。但是，由于Z(-n) = -1 Z(-f) = 1 之后的除法将在矩阵乘法之后执行，因此我们必须首先乘以<{em}乘以<{1}}。这意味着翻译部分现在位于第三列，我们有一个格式

的矩阵

w=-z

对于x，这给出了：

-z

现在我们只需要找到正确的系数C和D，它将( C 0 D 0 ) ( 0 E F 0 ) ( 0 0 A B ) ( 0 0 -1 0 ) 映射到x_clip = (x_eye * C + D * z_eye ) / (-z_eye) = -x_eye / z_eye - D 和x_eye=l映射到x_ndc=-1。请注意，经典的GL视锥体函数将x_eye=r和x_ndc=1的值解释为近平面上的距离，因此我们必须为l计算所有这些值。求解2个方程的新系统，您将得到在平截头体矩阵中看到的那些系数。