射线对凸面物体的全局收敛性

Question

在Gino Van Den Bergen的2004年论文Ray Casting against General Convex Objects with Application to Continuous Collision Detection中，他首先提出了一种天真的迭代方法来准备他的讨论：

Algorithm 1 An iterative method for performing a ray cast of a ray s+λr against
a convex object C. For positive results, this algorithm terminates with λ being the
hit parameter, x, the hit spot, and n, the normal at x.

λ ← 0;
x ← s;
n ← 0;
c ← “the point of C closest to x”;
while not “x is close enough to c” do
begin
    n ← x − c;
    if n · r ≥ 0 then return false
    else
    begin
        λ ← λ − (n · n)/(n · r);
        x ← s + λr;
        c ← “the point of C closest to x”
    end
end;
return true

然后他说：

  

属性λi＆lt; λi+1≤λhit是必要的但尚不充分   全球趋同的条件。为了表明，如果是   命中，xi确实接近i→∞的命中点，我们需要证明这一点   从λi到λi+ 1的映射在所有λ<λhit处是连续的。

然而，对于至少实数，λ的序列单调增加并且在上面有界的事实是收敛的充分条件。我不确定为什么他需要证明连续性？

Answer 1

如果某个时刻存在奇点，那么λi+ 1可能会渐近逼近它，但永远无法超越它。对于精度有限的数字，它只是意味着λ将停止增加。

编辑：好吧我想我想出了一个类似算法可能无法收敛的例子。让我们假设我们的进步策略更加谨慎：一旦我们找到最接近的点c，我们将λ推进到最接近c的光线上的点，即λi+ 1 =λi - （n·r）/ 2，并且另外，物体不是完全凸起的，而是有一个洞：

AB = AC，所以在A处有一个奇点。我们的新算法将接近A，但是永远不会到达它并且能够跳到C（因为它每次仅移动一半），然而λ将稳定地增加到任何一点。

编辑2：由于A是一个奇点，n·r实际上会在那里得到0，所以我不确定它是否会破坏参数:)也许不是如果我们确切地定义在A，C将被选中作为最接近的点而不是B