在二叉搜索树中搜索数字。如果它不存在，找到比它小的最大数字

Question

假设您有一个平衡的二叉搜索树（比如AVL树），其中包含n个数字。

您需要一种能够查找给定数字x的算法，但如果它找不到， 返回小于x的最大数字。

为了问题，不插入x然后删除它，解决方案应该是O（log（n））。

谢谢

Answer 1

这个问题是关于找到（虚拟）插入节点的Inorder Predecessor。我将首先解释一下Inorder Predecessor是什么，然后解释我们如何在BST中找到Inorder Predecessor。

在我们讨论Inorder Predecessor之前，我们必须首先熟悉二进制搜索树的Inorder Traversal。 Inorder遍历是一种以特定顺序访问二进制搜索树的所有节点的算法，如下面的递归算法所述：

Inorder(Node S)
  Inorder(left child of S)
  print S
  Inorder(right child of S)

简单来说，我们递归打印左侧树，然后是中心节点，然后是右侧子树。

该算法非常简单而优雅，因为当按照这个顺序打印键时，由于BST结构中键的排序，我们将得到一个特殊的键序列。这个特殊的序列是什么？让我们跟踪BST的算法并检查它。

让我们考虑下面显示的BST：

这里，让我们跟踪我们的算法，首先我们在根（值为20的节点）启动算法，然后算法说我们递归调用左子树的相同函数，这是根的子树在节点8，我们再次调用左子树8，即节点4.此时4没有左子树，所以我们打印键4.由于4没有正确的子树，我们完成了子树以节点4为根，我们回溯到节点8.现在我们打印节点8.然后我们调用节点8的右子树的递归函数，并按照算法一步一步，你会发现打印的序列是：4,8,10,12,14,20,22

这个序列是什么？它只是键的排序顺序。

这是怎么发生的？嗯，它只是BST节点结构的方式：BST有一个特殊属性，即对于每个节点S，节点S左边的所有键都小于S，S右边的所有节点都是大于S.

换句话说，Inorder遍历只是整齐地按排序顺序打印出二叉搜索树的键。

好的，现在我们了解了打印BST的Inorder Traversal的递归算法，我们重新关注我们找到节点的任务，该节点将是比我们的目标节点小的最大节点。这个节点是什么？它只是在BST的Inorder遍历中我们虚拟插入节点之前打印的节点。这被称为Inorder Predecessor。

让我们回顾一下我们的BST，了解Inorder Predecessor是什么。

这里的12个Inorder Predecessor是什么？我们做什么？我们知道节点的Inorder Predecessor是在Inorder遍历中打印此节点之前打印的节点。这可以是哪个节点？为了回答这个问题，我们必须想象出我们的节点12将被打印的确切时间点。显然，对于通过我们的Inorder遍历算法在特定节点之前打印的内容，它应该是已经完成打印步骤的某个节点。在这种情况下，对于节点12，我们看到12的打印步骤之前立即通过调用递归地打印12的左孩子。什么是12岁的孩子？它是10.显然，10是在Inorder遍历中在12之前打印的节点。因此，10是12的Inorder Predecessor。

通常，很容易看出，如果一个节点有一个左子树，那么节点的Inorder Precedessor就是它左边子树中的最大节点。

但是如果节点没有左子树怎么办？比如说，节点10的Inorder Predecessor是什么？我们怎么找到这个？

嗯，这有点棘手，因为10没有左子树。让我们想一想，哪个节点可以在节点10之前打印？我们正在寻找已经打印过的节点。首先，我们如何在遍历的算法序列中到达节点10？我们从节点12离开，Inorder Predecessor可能是12吗？不，因为根据算法，节点12将仅在10之后打印，因为通过对节点12的左子树的递归调用打印10。好的，什么叫12？ 8称为递归调用12，作为其递归调用它的右子树的一部分。好吧，8可以成为Inorder Predecessor吗？首先我们已经打印了8个？是的，我们已经打印了8，因为我们现在已经在8的正确子树中了。图8确实是在Inorder Traversal中恰好在节点10之前打印的节点。为什么？我们刚刚做了什么？我们所做的只是回顾我们如何在节点10结束，回溯步骤并查看已经打印的第一个节点。显然，这就是Inorder Predecessor。因此，8是Inorder Predecessor of 10。

一般来说，很容易看出，如果一个节点没有左子树，你需要做的只是从你的节点到树的树上，然后找到一个正确的子节点它的父母，那么父母将是Inorder Predecessor。

因此，要找到节点的Inorder Predecessor，您需要做的就是追溯到遍历中到达节点的递归调用。

汇总：  如果节点具有左子树，则Inorder Predecessor是节点左子树中的最大键。  其他   上去，直到你发现一个节点是它的父母的正确孩子，那么父母将是Inorder Predecessor。

现在，我们了解Inorder Predecessor是什么以及如何在BST中找到它，让我们回到我们的任务。由于我们的节点首先不存在，所以我们将插入它（几乎至少），这意味着它将是插入的叶子，这意味着它将没有左子树，这意味着它的前身是实际上只有树。因此，在一次遍历中，您应该能够执行此任务，而无需实际插入。