为什么这个偶函数的FFT不是真的？

Question

所以，在iPython中，我运行以下内容，

In [1]: from pylab import *;

In [2]: x = np.array([4.,3.,2.,1.,0.,1.,2.,3.,4.]);

In [3]: rfft(x)
Out[3]:
array([ 20.00000000+0.j        ,   7.79085937+2.83564091j,
        -0.21688142-0.18198512j,   0.50000000+0.8660254j ,
        -0.07397795-0.41954982j])

变量x是一个围绕数组中间元素的偶函数，但它的fft并不完全是真实的。这是为什么？如何为numpy / scipy的fft函数输入偶数函数，以便它将其解释为偶数函数？

Answer 1

N样本覆盖信号的一段时间而不重复样本（即，不包括与第一个样本相同的（N + 1） ^st 样本）。要使其可视化，您可以将样本与相应的对称候选项匹配，以获得：

given signal        :              4 3 2 1 0 1 2 3 4
periodic extension  : ...  1 2 3 4 4 3 2 1 0 1 2 3 4 4 3 2 1 0 1 2 3 4 ...
symmetry            :              ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
                                   | | | | |_| | | | |
                                   | | | |_____| | | |
                                   | | |_________| | |
                                   | |_____________| |
                                   |_________________|

您还可以通过以下方式绘制信号来验证：

plt.plot(np.arange(18), np.append(x, x));
plt.plot(np.array([ 4.5, 4.5]), np.array([0,5]), 'r--');
plt.plot(np.array([ 9.0, 9.0]), np.array([0,5]), 'k--');
plt.plot(np.array([13.5,13.5]), np.array([0,5]), 'r--');
plt.axis([0, 18, 0, 5]);
plt.grid(True);
plt.show();

其中黑色虚线表示信号的周期，红色线表示沿周期的中点。如您所见，信号实际上不是对称的。

因此，根据不重复第一个样本的惯例，要获得对称信号，您应该将信号定义为：

x = np.array([4.,3.,2.,1.,0.,1.,2.,3.])

通过应用rfft生成以下实值（在数值精度内）频域序列：

array([ 16.00000000 +0.00000000e+00j,   6.82842712 -1.11022302e-15j,
         0.00000000 -0.00000000e+00j,   1.17157288 -1.11022302e-15j,
         0.00000000 +0.00000000e+00j])