我的算法的时间复杂度是否低于 O(| 2 (2 + log3(n)) - 1 |)?
有没有更优雅的方式来写它?
int cantor(int low, int high) {
int gap= (high - low) / 3;
if (high < low)
return 0;
else if (high == low)
return low;
else
return cantor(low, low + gap) + cantor(high - gap, high);
}
运行下面的Java程序会产生关键点,其中n
=整数输入,o
=操作次数,b
=上限(需要>= o
)
n o b
0 1 1.0 <- critical point
1 3 3.0 <- critical point
2 3 5.194250610520971
3 7 7.0 <- critical point
4 7 8.592185156484856
5 7 10.04233615383682
6 7 11.388501221041942
7 7 12.65392426064557
8 7 13.85409969044663
9 15 15.0 <- critical point
10 15 16.099749365620383
11 15 17.159572545935887
12 15 18.184370312969712
13 15 19.178087273270823
14 15 20.143957171877723
15 15 21.08467230767364
16 15 22.0025040190721
17 15 22.899390537770895
18 15 23.777002442083877
19 15 24.636792344342172
20 15 25.480033236937405
21 15 26.30784852129114
22 15 27.1212358323658
23 15 27.92108616334829
24 15 28.708199380893266
25 15 29.48329693358293
26 15 30.2470323529008
27 31 31.0 <- critical point
这是java代码:
public class recursionTreeTimeComplexity {
static int calls = 0;
static int cantor(int low, int high) {
calls++;
int gap = (high - low) / 3;
if (high < low)
return 0;
else if (high == low)
return low;
else
return cantor(low, low + gap) + cantor(high - gap, high);
}
public static void main(String[] args) {
for (int i = 0; i < 1000; i++) {
calls = 0;
cantor(0, i);
// |(2^log3(n)+2)|-1
System.out.println(i + "\t" + calls + "\t" + Math.abs((Math.pow(2, ((Math.log(i) / Math.log(3)) + 2)) - 1)));
}
}
}
答案 0 :(得分:2)
假设算法是O(f(n))意味着时间大致与f(n)成比例(因为n足够大)。 [更新:这不完全准确,因为实际时间可能会有很大变化,并且不必单调增加。更确切地说,这意味着时间上限与f(n)大致成正比。]
因此,在使用O符号时添加常数是无关紧要的:O(f(n)+ k)与O(f(n))相同,因为最终f(n)部分将占主导地位且k部分将变得可以忽略不计。此外,由于这是一个比例,乘以一个常数是无关紧要的; O(kf(n))与O(f(n))相同,因为它们都说它基本上与f(n)成比例。这意味着原始表达式中的+1
是无关紧要的,2+
也是如此,因为2 (2 + x) = 4 * 2 x ,这意味着你只是乘以一个常数。所以你的原始表达式可以简化为O(2 ^(log 3 n))。这似乎是正确的;因为我确定你注意到,如果T(n)是算法的运行时间,那么基本上T(n)= 2T(n / 3)[非常粗略,但这对于这个目的来说足够好],这意味着如果我们假设T(1)= 1,则T(3)= 2,T(9)= 4,T(27)= 8等
我们可以进一步简化。 log 3 n = log 2 n / log 2 3;因此2 ^(log 3 n)= 2 ^(log 2 n / log 2 3)=(2 ^ log 2 n)^(1 / log 2 3)= n ^(1 / log 2 3)= n ^(log 3 2)。所以算法的时间可以表示为O(n ^(log 3 2)),或者约为O(n 0.6309 )。