Question

我们说一系列数字 x（1）， x（2），...， x（k）是如果没有三个连续元素创建非增加或非减少序列，则 zigzag 。更确切地说，对于所有i = 1,2，...，k-2

x(i) >( x(i+1),x(i-1) )  

or

x(i) < ( x(i+1) , x(i-1))

我有两个数字序列 a（1），a（2），...，a（n）和 b（1），b（2），.. 。，b（M）即可。问题是计算其最长的常见锯齿形子序列的长度。换句话说，您将从两个序列中删除元素，使它们相等，这样它们就是一个Z字形序列。如果执行此操作所需的最小元素数为k，那么您的答案为m + n-2k。

注意。长度为2和1的序列通常为Z字形

现在我尝试使用以下状态变量编写一个memoized递归解决方案

i= current position of sequence 1.
j= current position of sequence 2.
last= last taken number in the zigzag sequence currently being considered.
direction = current requirement of the number i.e. should it be greater than previous,less or same;

我用

调用下面的函数

magic(0,0,Integer.MIN_VALUE,0);

这里使用Integer.MIN_VALUE作为一个标记值，表示序列中尚未采集任何数字。功能如下：

static int magic(int i, int j, int last, int direction) {

  if (hm.containsKey(i + " " + j + " " + last + " " + direction))
   return hm.get(i + " " + j + " " + last + " " + direction);


  if (i == seq1.length || j == seq2.length) {
   return 0;

  }



  int take_both = 0, leave_both = 0, leave1 = 0, leave2 = 0;
  if (seq1[i] == seq2[j] && last == Integer.MIN_VALUE)
   take_both = 1 + magic(i + 1, j + 1, seq1[i], direction); // this is the first digit  hence direction is 0.
  else if (seq1[i] == seq2[j] && (direction == 0 || direction == 1 && seq1[i] > last || direction == -1 && seq1[i] < last))
   take_both = 1 + magic(i + 1, j + 1, seq1[i], last != seq1[i] ? (last > seq1[i] ? 1 : -1) : 2);


  leave_both = magic(i + 1, j + 1, last, direction);

  leave1 = magic(i + 1, j, last, direction);
  leave2 = magic(i, j + 1, last, direction);
  int ans;

  ans = Math.max(Math.max(Math.max(take_both, leave_both), leave1), leave2);
  hm.put(i + " " + j + " " + last + " " + direction, ans);
  return ans;

 }

现在上面的代码适用于我可以做的尽可能多的测试用例，但复杂性很高。如何减少时间复杂度，我可以在这里消除一些状态变量吗？有没有一种有效的方法呢？

Answer 1

首先让我们减少状态数：让f(i, j, d)为从第一个字符串中的位置i开始的最长公共之字形序列的长度，并且在第二个字符串中的位置j并从方向d开始（向上或者下来）。

我们有复发

f(i, j, up) >= MAX(i' > i, j' > j : f(i', j', up))
if s1[i] = s2[j]:
    f(i, j, up) >= MAX(i' > i, j' > j, s1[i'] > x : f(i', j', down))

类似于down方向。以直截了当的方式解决这个问题将导致类似O（n ⁴·W）的运行时，其中W是数组中整数的范围。 W不是多项式的，所以我们绝对想要摆脱这个因素，理想情况下还有两个因素。

要解决第一部分，你必须找到最大的f（i'，j'，up）我＆gt;我和j'＆gt;学家这是标准的标准2-d正交范围最大查询。

对于第二种情况，您需要找到i'和gt;的最大值（i'，j'，down）我，j'＆gt; j和s1 [i']＆gt; S1 [i]中。这是矩形中的范围最大查询（i，∞）x（j，∞）x（s1 [i]，∞）。

现在这里有3个尺寸看起来很吓人。但是，如果我们按照i的递减顺序处理状态，那么我们就可以摆脱一个维度。因此，我们将问题简化为矩形（j，∞）x（s1 [i]，∞）中的范围查询。坐标压缩将值的维度降低到O（n）。

您可以使用二维数据结构（例如range tree或二叉索引树）来解决O（log ² n）中的两种范围查询。总运行时间为O（n ²·log ² n）。

您可以使用分数级联来消除一个对数因子，但这与高常数因子相关联。然后运行时只有一个对数因子，用于找到最长的公共子序列，这似乎是我们问题的下限。

具有一定属性的最长公共子序列？

1 个答案: