找到一个/ b mod c

Question

我知道这可能看起来像是一个数学问题，但我只是在比赛中看到了这一点，我真的想知道如何解决它。

我们有

  

a（mod c）

和

  

b（mod c）

我们正在寻找商数值

  

（a / b）（mod c）

有什么想法吗？

Answer 1

在模C的整数环中，这些等式是等价的：

  

A / B (mod C)
  A * (1/B) (mod C)
  A * B ^-1 (mod C)。

因此，您需要找到B ^-1 ，B模C的乘法逆。您可以使用例如扩展欧几里德算法。

请注意，并非每个数字都具有给定模数的乘法反转。

具体而言，B ^-1 存在且仅当gcd(B, C) = 1（即B和C是互质的时候）。

另见

• Wikipedia/Modular multiplicative inverse
• Wikipedia/Extended Euclidian algorithm

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模数乘法逆：示例

假设我们想要找到3模11的乘法逆。

也就是说，我们想找到

  

x = 3 ^-1 (mod 11)
  x = 1/3 (mod 11)
  3x = 1 (mod 11)

使用扩展的欧几里得算法，你会发现：

  

x = 4 (mod 11)

因此，3模11的模乘法逆是4.换句话说：

  

A / 3 == A * 4 (mod 11)

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朴素算法：暴力搜索

解决此问题的一种方法：

  

3x = 1 (mod 11)

只需针对所有值x尝试0..11，并查看等式是否成立。对于小模数，这个算法可能是可以接受的，但扩展欧几里德算法渐近更好。

Answer 2

可能有很多答案。当你拥有的是k = B mod C时，B可以是所有整数N的任何k + CN。

这意味着B可能非常大。事实上，如此大，使A / B接近零。

但是，这只是一种回应方式。

Answer 3

我认为它可以写成（但不确定）

(a/b)%c = ((a)%(b*c))/b