找到一个^ s mod b

Question

我们给出了3个数字：a，s和b，每个都在1到1000000之间变化。我们需要找到pow（a，s）％b。显然，我们不能使用简单的pow函数，因为我们无法生成大数，例如1000000 ^1000000 。这是问题的解决方案：

sol=1
for(int i=0;i<s;i++) 
{
            sol = sol * a;
            sol = sol % b;
}

print sol

我不明白这个算法。有人可以向我解释一下吗？

P.S。我在哪里可以找到更多解决非平凡数学问题的算法，例如这个？ 干杯！

Answer 1

首先，您编写的算法根本没有优化，因为它在s中是线性的，而您可以轻松地编写一个日志，因为您可以阅读here。

那就是说，没有太多要解释的：你只需要知道

a*b mod N = ((a mod N) * ( b mod N)) mod N

那个

a^s = a*a*...*a s times

并且紧接着你的算法以天真的方式计算结果。

Answer 2

a ^s mod b =（a•a ^s-1 ）mod b =（a mod b）•（a ^s-1 mod b）mod b = ...

正如您所看到的，第一步是微不足道的，而第二步是模数的已知属性。所以你可以迭代并找到一个 ^s mod b。

正如其他提到的，你可以做得更好。对于其他方法，您可以转到Wikipedia。但我将解释这个算法背后的想法：用二进制代表数字s，这样你就可以用以下方式编写s：

s =Σ（2 ⁱ •b _i ）其中每个b _i 为0或1。

所以： ^s mod b = a ^{Σ（2 i •b _i ）} mod b，所以你可以在LSB = 1时进行乘法，然后向右移动指数......