部分矩阵变换

Question

如果我有一个代表2d旋转，平移或缩放（或那些的某种组合）的3x3矩阵，有一种方法可以将它与常数或其他矩阵相乘来计算部分变换矩阵。

例如，如果我知道矩阵是一个平移矩阵，我可以简单地将m[0][2]和m[1][2]乘以一些常数（例如0.25）来创建1/4（m）平移矩阵

是否存在一种通用方法，无论矩阵如何都可以使用？如果没有，是否有一个单独的方法适用于列出的每种类型（旋转和比例）。

Answer 1

这与OpenGL 3D transformations同源。是的，只需省略 z 行/列，就可以用3x3矩阵产品表示2D平移，旋转和缩放。

例如：

文：

|1  0  Tx| |x|   | x+Tx | 
|0  1  Ty|*|y| = | y+Ty |
|0  0  1 | |1|   |  1   |

转速：

|cos(w) -sin(w) 0| |x|   | x*cos(w)-y*sin(w) |
|sin(w)  cos(w) 0|*|y| = | x*sin(w)+y*cos(w) |
|  0     0      1| |1|   |         1         |

规模：

|Sx 0  0| |x|   | Sx*x |
|0  Sy 0|*|y| = | Sy*y |
|0  0  1| |1|   |   1  |

如果您想要结合更多变换，可以应用更多变换。假设您有缩放操作， S 和翻译， T 。

现在给出了一个向量 v0 ，您可以对其进行缩放： v1 = S * v0

你可以翻译它：

v2 = T * v1

即：

v2 = T * S * v0

T * S 是

的复合转换

1. 缩放向量
2. 翻译

现在让我们思考以相反顺序执行的转换： S * T

1. 翻译矢量
2. 缩放

请注意，缩放现在也会缩放翻译的坐标 - 与第一种情况不同。

现在您要求的是一个转换操作的操作，而不是矢量。我会尝试这样做：获取一个向量 v3 ：

1. 执行倒转操作
2. 翻译倒置的缩放矢量
3. 缩放

这将导致矢量处于原始比例，翻译为＆＃34;缩放翻译＆＃34;。这通常写成：

v3 = S ^-1 * T * S * v

其中 S ^-1 是逆矩阵（ S ^-1 执行相反操作的* S = I ，单位矩阵）。

S ^-1 * T * S 是您正在寻找的转型。这种方法很一般。