确定转换矩阵

Question

作为my previous question关于确定相机参数的后续内容，我提出了一个新问题。

我有两张相同矩形的照片：

第一个是没有任何变换的图像，并按原样显示矩形。

第二张图像显示了应用了一些3d变换（XYZ旋转，缩放，XY平移）后的矩形。这导致矩形看起来像一个梯形。

我希望下面的图片描述我的问题：

alt text http://wilco.menge.nl/application.data/cms/upload/transformation%20matrix.png

如何确定哪些转换（更具体地说：转换矩阵）导致了这种转换？

我知道两个图像中角落的像素位置，因此我也知道角落之间的距离。

Answer 1

我很困惑。这是2d还是3d问题？

我理解它的方式，你有一个嵌入3d空间的扁平矩形，你正在看它的两个2d“图片” - 一个原始版本和一个基于转换版本。这是对的吗？

如果这是正确的，那么没有足够的信息来解决问题。例如，假设两张图片看起来完全一样。这可能是因为翻译是身份，或者可能是因为翻译将矩形移动了两倍远离相机并使其大小加倍（从而使其看起来完全相同）。

Answer 2

这是一个数学问题，而不是编程..

你需要定义一组方程（你的变换矩阵，我的猜测是3个方程），然后解决角点的4个变换。

我只用德语单词描述过......所以上面的内容听起来很奇怪......

Answer 3

根据您所拥有的信息，这并不容易。不过，我会给你一些想法。如果你有角落的3D坐标，你会有更轻松的时间。这是基本的想法。

1. 将角移动到原点。此后，将围绕原点进行轮换。
2. 确定轴的矢量。通过从原点减去相邻的角来完成此操作。这些将是您的世界的本地x和y轴。
3. 使用矢量确定角度。您可以使用点和交叉乘积来确定局部x轴和全局x轴（1,0,0）之间的角度。
4. 在步骤3中按角度旋转。这将为您提供一个新的x轴，该x轴应与全局x轴和新的局部y轴匹配。然后，您可以确定围绕x轴的另一个旋转，这将使y轴与全局y轴对齐。

如果没有z坐标，您会发现这很困难，但这是一般过程。我希望这会有所帮助。

Answer 4

解决方案并不是唯一的，正如Alex319指出的那样。

如果第二张图像真的像你说的那样是梯形，那么这不会太难。由于透视，它是一个梯形（不是平行四边形），所以它必须是等腰梯形。

绘制两个对角线。它们在矩形的中心相交，因此负责翻译。

旋转梯形，直到其平行边与原始矩形的两边平行。 （哪两个？没关系。）

通过中心画出第三个平行线。将其缩放到您选择的矩形的边上。

现在轮换出飞机。测量从中心到其中一个平行边的距离，并使用正弦定律。

如果它不是一个梯形，只是一个四边形，那么它会更难，你将不得不使用对角线之间的角度来找到旋转轴。