TensorFlow：计算Hessian矩阵（和更高阶导数）

Question

我希望能够为损失函数计算高阶导数。至少我希望能够计算Hessian矩阵。目前我正在计算Hessian的数值近似值，但这更昂贵，更重要的是，据我所知，如果矩阵病态（条件数非常大），则不准确。

Theano通过符号循环来实现这一点，请参阅here，但Tensorflow似乎还不支持符号控制流，请参阅here。在TF github页面上提出了类似的问题，请参阅here，但看起来似乎没有人在这个问题上进行了一段时间的跟进。

是否有人了解TensorFlow中更近期的发展或计算高阶导数（象征性地）的方法？

Answer 1

嗯，你可以毫不费力地计算出粗麻布矩阵！

假设您有两个变量：

x = tf.Variable(np.random.random_sample(), dtype=tf.float32)
y = tf.Variable(np.random.random_sample(), dtype=tf.float32)

和使用这两个变量定义的函数：

f = tf.pow(x, cons(2)) + cons(2) * x * y + cons(3) * tf.pow(y, cons(2)) + cons(4) * x + cons(5) * y + cons(6)

其中：

def cons(x):
    return tf.constant(x, dtype=tf.float32)

所以在代数术语中，这个函数是

现在我们定义一个计算粗麻布的方法：

def compute_hessian(fn, vars):
    mat = []
    for v1 in vars:
        temp = []
        for v2 in vars:
            # computing derivative twice, first w.r.t v2 and then w.r.t v1
            temp.append(tf.gradients(tf.gradients(f, v2)[0], v1)[0])
        temp = [cons(0) if t == None else t for t in temp] # tensorflow returns None when there is no gradient, so we replace None with 0
        temp = tf.pack(temp)
        mat.append(temp)
    mat = tf.pack(mat)
    return mat

并将其命名为：

# arg1: our defined function, arg2: list of tf variables associated with the function
hessian = compute_hessian(f, [x, y])

现在我们抓住tensorflow会话，初始化变量，然后运行hessian：

sess = tf.Session()
sess.run(tf.initialize_all_variables())
print sess.run(hessian)

注意：由于我们使用的函数本质上是二次的（并且我们进行了两次微分），所以返回的粗体将具有恒定值，而与变量无关。

输出结果为：

[[ 2.  2.]
[ 2.  6.]]

Answer 2

警告：Hessian 矩阵（或更一般地说，张量）的计算和存储成本很高。您实际上可能会重新考虑是否真的需要完整的 Hessian，或者只是一些 Hessian 属性。其中一些，包括迹、范数和顶部特征值可以无需显式 Hessian 矩阵即可获得，只需使用 Hessian 向量乘积预言机即可。反过来，可以有效地实现 hessian-vector 产品（也在领先的 autodiff 框架中，例如 Tensorflow 和 PyTorch）