两条Bezier曲线相交的可靠测试

Question

如何可靠地找出两条贝塞尔曲线是否相交？通过＆＃34;可靠＆＃34;我的意思是测试将回答＆＃34;是＆＃34;只有当曲线相交时，＆＃34; no＆＃34;只有当他们不相交时我不需要知道交叉点的参数是什么。我也想在实现中使用浮点数。

我在这里找到了几个使用曲线的答案。测试的边界框：这不是我之后的事情，因为这样的测试可能会报告交叉，即使曲线不相交。

到目前为止，我发现的最接近的是＆＃34;边界楔形＆＃34; Sederberg和Meyers，但它只有＃34;区分最多一个和两个或多个交叉点，而我想知道是否存在最多零和一个或多个交叉点。

Answer 1

我假设立方贝塞尔曲线。

使用浮点计算报告交叉点的最可靠方法可能是查找它们，并结合错误分析。

当涉及浮点计算时，主要问题是计算结果w.r.t不一致。拓扑结构。不幸的是，如果你需要在合理的时间内计算计算几何中的任何东西，这是不可避免的。

因此，不是强调交叉计算的正确算法，而是选择一个简单的算法并实施错误分析可能是解决方案。

我会尝试实现一个有效的细分算法，如bezier-clipping（或二次剪裁的变体 - Nicholas North's Geo-clip），并运行错误分析来计算严格的误差范围，这样我们就不会“错过”交叉点。

详细说明，这些基于细分的算法中的浮点（双精度）错误的主源是：

1. 截断误差：特别是输入系数等中的误差也是有限的 - 我们在算法中不能做太多。
2. De Casteljau细分和点评估期间的舍入错误。

我使用了De Casteljau算法的运行误差范围 - explained here以及Geo-clip算法。它快速而强大。 （B.t.w.如果你想使多项式/贝塞尔算法更加稳健，这些论文一般来说是一个很好的读法）

假设您知道bezier clipping algorithm的基础知识，一般的想法是扩展混合贝塞尔曲线（在第一篇论文链接中）和胖线适当地使用每个剪辑的错误界限。

其他一些不相关的想法：

• 您可以尝试使用Bentley-Ottmann扫描线算法的变体。首先，您必须将贝塞尔曲线分割为X单调段;当你扫过它们时，看看它们的Y顺序。这种方法有一些缺点，因为贝塞尔曲线也能够与多于一个的多重相交 - 考虑切向交叉。在这里进行错误分析可能很困难（当你计算y值时，会涉及一些浮点错误）
• 区间投影多面体算法：使用舍入间隔算法来提高稳健性。但2D贝塞尔曲线的算法非常complicated

您可能会遇到一些案例：

1. 自我交叉点
2. 重叠（重合）曲线：在这种情况下，细分算法将继续进行。这可以 easy to check。
祝你好运：）

Answer 2

从头脑中的想法。 映射它们，使它们位于同一个域中，以便您可以减去它们。然后做一个根发现。根查找有很多很多数值方法。

Answer 3

如果您需要查看两条曲线是否与视觉相交，比如游戏中的实时屏幕图形或其他内容，那么最简单的方法是到目前为止 ，就是简单地比较它们的像素。

获取两条曲线的bbox和像素查找表（LUT），检查是否存在bbox重叠：没有重叠？完成。没有交集。交叠？使用快速分拣机对LUT进行排序，然后运行比较。你找到一场比赛的那一刻，你就完成了。有重叠，你不关心在哪里。

如果你必须为很多曲线做这件事：使用一个为你做这个的库，不要浪费你自己实现它的时间，你不会那么高效（对于大型集合，如oct-树和扫描线检查变得更有效率）

但是，如果你需要知道是否存在绝对的，数学上精确的重叠，比如说正确的设计工作，那么你就不能偷工减料：实际上是真实的交叉点检测算法找到所有可能的交叉点。实时与此设置无关，您可以花费更多的周期来运行正确的检测算法。

Answer 4

假设为三次贝塞尔曲线，交点是9次多项式的实根。在一个区间内存在这样的根（对于无限长的曲线，从负到正无穷大，或者对于典型的分段三次贝塞尔曲线，从0到1）可以使用Sturm sequence进行鲁棒检查。这只有在我们允许将其中一条曲线扩展到无穷大时才有效。该算法没有循环，只使用基本的算术运算（加，减和乘，而除法应该是可以避免的）。

为了获得最大的稳健性，您可以使用任意精度数学。由于步数是恒定的，因此所有临时结果中的最大可能位数都是有界的。这样，无论输入的病理程度如何（例如曲线几乎不接触），您的算法将始终返回正确的结果。

可能首先使用普通浮点数，并检测潜在的病态情况（当添加/减去先前的中间结果时，中间结果变为零）。

从Bezier控制点获取多项式项的公式确实值得一看，但幸运的是，你不必将它们解决，  他们是right here on Github。

2004年有一个帖子，comp.graphics.algorithms keySet(V mappedValue)上有更多详情。

如果您正在处理二次贝塞尔曲线，则多项式将仅为4度。