Question

我试着看http://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-006-introduction-to-algorithms-fall-2011/lecture-videos/lecture-4-heaps-and-heap-sort/来了解堆和堆，但没有发现这一点。

我不明白max-heapify的功能。它似乎是一个递归函数，但是由于树的高度，它被称为以对数时间运行。

对我来说这毫无意义。在最坏的情况下，它不是必须反转每个节点吗？我不知道如果不重复地触及每个节点，如何做到这一点。

Answer 1

在最坏的情况下，它不是必须反转每个节点吗？

您不必经历每个节点。标准max-heapify算法是:(取自维基百科）

Max-Heapify (A, i):
    left ← 2*i  // ← means "assignment"
    right ← 2*i + 1
    largest ← i

    if left ≤ heap_length[A] and A[left] > A[largest] then:
        largest ← left
    if right ≤ heap_length[A] and A[right] > A[largest] then:
        largest ← right

    if largest ≠ i then:
        swap A[i] and A[largest]
    Max-Heapify(A, largest)

您可以看到，在每次递归调用中，您都可以停止或继续使用子树left或right。在后一种情况下，使用1减小树高。由于堆树是按照定义进行平衡的，因此最多可以执行log(N)步骤。

Answer 2

这是MAX-HEAPIFY的作用：

给定索引 i 的节点，其左右子树是max-heaps，MAX-HEAPIFY将 i 的节点向下移动到最大堆，直到它不再为止违反了max-heap属性（即节点不小于其子节点）。

节点在正确位置之前可以采用的最长路径等于节点的起始高度。每次节点需要在树中再向下一级时，算法将选择一个分支，并且永远不会回溯。如果正在堆积的节点是最大堆的根，那么它可以采用的最长路径是树的高度，或O(log n)。

MAX-HEAPIFY只移动一个节点。如果要将数组转换为最大堆，则必须确保所有子树都是max-heaps，然后再转到根目录。您可以通过在n/2个节点上调用MAX-HEAPIFY来执行此操作（叶子始终满足最大堆属性）。

来自CLRS：

for i = floor(length(A)/2) downto 1
   do MAX-HEAPIFY(A,i)

由于您调用MAX-HEAPIFY O(n)次，因此构建整个堆为O(n log n)。

Answer 3

这是为什么它是 O(N) 的一个论点。

假设它是一个完整的堆，所以每个非叶子节点都有两个孩子。（即使情况并非如此，它仍然有效，但更烦人。）

在树的每个节点上放一枚硬币。每次我们进行交换时，我们都会花费其中一个硬币。（请注意，当元素在堆中交换时，硬币不会与它们交换。）如果我们运行 MAX-HEAPIFY，并且还有剩余的硬币，这意味着我们进行的交换比树中的节点少，因此 MAX-HEAPIFY 执行 O(N) 交换。

声明：在 MAX-HEAPIFY 运行完成后，堆将始终至少有一条从根到叶子的路径，路径的每个节点上都有硬币。

归纳证明：对于单节点堆，我们不需要做任何交换，所以我们不需要花费任何硬币。因此，一个节点可以保留它的硬币，并且我们有一条从根到叶（长度为 1）的完整路径，硬币完好无损。

现在，假设我们有一个包含左子堆和右子堆的堆，并且 MAX-HEAPIFY 已经在这两个子堆上运行。通过归纳假设，每条路至少有一条从根到叶子的路径，上面有硬币，所以我们至少有两条有硬币的根到叶子路径，每个孩子一条。为了建立 MAX-HEAP 属性，根需要走的最远是一直交换到树的底部。假设它向下交换到左子树，并一直向下交换到底部。对于每次交换，我们都需要花费硬币，所以我们从根交换到的节点花费它。

这样做时，我们将所有硬币都花在了一个从根到叶的路径上，但请记住，我们最初至少有两个！因此，在整个堆上运行 MAX-HEAPIFY 之后，我们仍然有一个完整的从根到叶的路径，其中包含硬币。因此，MAX-HEAPIFY 花费的硬币比树中的节点少。因此，交换次数为 O(N)。 QED。

试图了解max heapify

3 个答案: