Question

我目前正在与Coq合作，我遇到了一个我不知道如何解决的问题。

我们说我们正在使用给定的类型，我会以nat为例，我想使用可能失败的函数f。为了弥补失败，我们将f定义为nat -> option nat类型。

现在我有一个假设H: nat -> bool，其中f不会失败，我甚至证明了引理

Lemma no_error_in_f : forall (n:nat), H n = true -> exists (u:nat), f n = Some u.

我想定义一个函数g: nat->nat，如果f满足，则n的结果为H n，否则只给n。这个功能应该很好定义，但我不知道如何正确定义它。如果我尝试一些幼稚的东西 Definition g (n:nat) := if H n then f n else n.，打字系统出现问题。

有谁知道如何收集所有元素并告诉系统该定义是合法的？

Answer 1

我在这里给出的解决方案与问题中给出的假设相同。

Axiom f : nat -> option nat.
Axiom H : nat -> bool.
Axiom no_error_in_f : forall n,
  H n = true -> exists u, f n = Some u.

Lemma no_error_in_f_bis : forall n,
  H n = true -> f n <> None.
Proof.
  intros. apply no_error_in_f in H0. destruct H0. rewrite H0. discriminate.
Qed.

Definition g n :=
  match H n as b return H n = b -> _ with
  | true => fun H =>
    match f n as f0 return f n = f0 -> _ with
    | Some n0 => fun _ => n0
    | None => fun H0 => match no_error_in_f_bis n H H0 with end
    end eq_refl
  | false => fun _ => n
  end eq_refl.

我使用另一个引理而不是no_error_in_f，这更便于证明False。请注意，此函数的两个概念（使用return的{{1}}构造，破坏match的证明以显示分支无法访问）在此处解释：{{3} }。

Answer 2

您的开发中存在两个问题。一个是你不能使用no_error_in_f来定义Coq中的g而不假设其他公理，因为Coq不允许从证明中提取计算信息（检查here以获取更多细节）。另一个问题是，您无法在H表达式中使用if，因为它会返回Prop而不是bool（请检查this answer更多细节）。

Answer 3

我找到了一种方法，如果有人有兴趣，这是我的解决方案：

Definition g (n:nat) :nat := (match (H n) as a return a = H n -> nat with | true => (fun H_true => (match (f n) as b return b = f n -> nat with | Some u => (fun _ => u) | None => (fun H1 => False_rec _ (no_error_in_f H_true H1)) end) (eq_refl f n)) | false => n end) (eq_refl H n).

对于那些想知道它意味着什么的人，False_rec将第二个参数作为False的证明，并证明匹配是不可能的。

一词

(match (f n) as b return b = f n -> nat with | Some u => (fun _ => u) | None => (fun H1 => False_rec _ (no_error_in_f H_true H1)) end) (eq_refl f n)) 类型为f n = f n-> nat，当我将其应用于证明eq_refl (f n)时（证明f n = f n，因此键入f n = f n），我得到nat。这个技巧允许我获得H1，这是f n = None使用相等的反射和模式匹配获得的证明，并且我将在{{1}的证明中使用}。

另一场比赛也是如此。

如何在Coq中证明证明定义

3 个答案: