NP的语言CLIQUE元素的补充？

Question

我正在研究NP课程，其中一个幻灯片提到：

It seems that verifying that something is not present is more difficult than verifying that it is present.
       ______                  _________
Hence, CLIQUE (complement) and SubsetSUM (complement) are not obviously members of NP.

有没有证明，CLIQUE的补充是否是NP的一个元素？

另外，你有证据吗？

Answer 1

这实际上是一个开放的问题！复杂性等级 co-NP 包含 NP 中所有问题的补充。现在还不知道 NP = co-NP ，很多人怀疑答案是否定的。

正如CLIQUE NP -complete一样，CLIQUE的补充是 co-NP -complete。 （更一般地，任何 NP - 完整问题的补充是 co-NP -complete）。有一个定理，如果任何 co-NP - 完全问题在 NP ，那么 co-NP = NP 这将是一个巨大的理论突破。

如果您有兴趣了解更多相关信息，请查看the Wikipedia article on co-NP并在线查看更多资源。

Answer 2

这里的一般直觉：很容易证明一个图包含一个N-clique：只是告诉我这个集团。很难证明没有N-clique的图表实际上没有N-clique。您要利用图表的哪些属性来做到这一点？

当然，对于某些图形族，您可以 - 例如，边缘足够少的图形不可能具有这样的集团。完全可能的是，所有图形都可以围绕它们建立类似的证据，尽管它很令人惊讶 - 几乎与P = NP一样令人惊讶。

这就是为什么NP中的语言补充一般来说显然不是NP - 实际上，我们有“co-NP”这个术语（如“补语是在NP中”）来指代语言喜欢！CLIQUE。

在复杂性理论中取得进展的一种常见方法是，我们没有在难以解决的问题上取得进展，这表明某些特定的难以证明的结果意味着令人惊讶的事情。显示NP = co-NP是这些证明的共同目标 - 例如，NP和co-NP中的任何难题都可能不完整，因为如果它是完整的，那么两者都是相等，所以不知怎的，你有那些疯狂的一般图形证明。

这甚至可以概括 - 你可以开始谈论如果你的NTM（或证书检查员）有像NPQUE这样的NP完整语言的oracle会发生什么。显然，CLIQUE和！CLIQUE都在P ^ CLIQUE中，但现在NP ^ CLIQUE和co-NP ^ CLIQUE中有（可能）新语言，你可以继续前进，直到你有一个复杂类的整个层次结构 - “多项式层次结构”。这种层次结构直观地继续存在，但可能在某些时候崩溃甚至根本不存在（如果P = NP）。

多项式层次结构使得这种通用参数技术更加强大 - 显示某些结果会使多项式层次结构崩溃到第2级或第3级会使结果非常令人惊讶。即使显示它崩溃也会有点令人惊讶。