Question

我需要在[0,1]上找到函数f（t）= int g（t，x）dx的最小值。我在mathematica中所做的如下：

f[t_] = NIntegrate[g[t,x],{x,-1,1}]
FindMinimum[f[t],{t,t0}]

然而，mathematica在第一次尝试时停止，因为NIntegrate不适用于符号t。它需要一个特定的值来评估。虽然Plot [f [t]，{t，0,1}]完全有效，但FindMinimum在初始点停止。

我不能用Integrate替换NIntegrate，因为函数g有点复杂，如果你输入Integrate，mathematica就会继续运行......

有什么方法可以绕过它吗？谢谢！

Answer 1

试试这个：

In[58]:= g[t_, x_] := t^3 - t + x^2

In[59]:= f[t_?NumericQ] := NIntegrate[g[t, x], {x, -1, 1}]

In[60]:= FindMinimum[f[t], {t, 1}]

Out[60]= {-0.103134, {t -> 0.57735}}

In[61]:= Plot[f[t], {t, 0, 1}]

我对您的代码进行了两项相关更改：

使用:=而不是=定义f。当f的用户提供了参数的值时，这有效地给出了f“later”的定义。请参阅SetDelayed。
使用t_?NumericQ而不是t_定义f。这说，t可以是任何数字（Pi，7,0等）。但不是任何非数字（t，x，“foo”等）。

Answer 2

一盎司分析......

只要Mathematica可以对g [t，x] w.r.t x进行符号积分，然后符号微分w.r.t.你可以得到一个精确答案，并完全避免数值积分的繁重。吨。一个不太简单的例子，更复杂的g [t，x]包括x和t中的多项式乘积：

g[t_, x_] := t^2 + (7*t*x - (x^3)/13)^2;
xMax = 1; xMin = -1; f[t_?NumericQ] := NIntegrate[g[t, x], {x, xMin, xMax}];
tMin = 0; tMax = 1;Plot[f[t], {t, tMin, tMax}];
tNumericAtMin = t /. FindMinimum[f[t], {t, tMax}][[2]];
dig[t_, x_] := D[Integrate[g[t, x], x], t];
Print["Differentiated integral is ", dig[t, x]];
digAtXMax = dig[t, x] /. x -> xMax; digAtXMin = dig[t, x] /. x -> xMin;
tSymbolicAtMin = Resolve[digAtXMax - digAtXMin == 0 && tMin ≤ t ≤ tMax, {t}];
Print["Exact: ", tSymbolicAtMin[[2]]];
Print["Numeric: ", tNumericAtMin];
Print["Difference: ", tSymbolicAtMin [[2]] - tNumericAtMin // N];

结果：

⁃Graphics⁃
Differentiated integral is 2 t x + 98 t x^3 / 3 - 14 x^5 / 65
Exact: 21/3380
Numeric: 0.00621302
Difference: -3.01143 x 10^-9

Answer 3

函数的最小值只能是它的推导零点，那么为什么要首先集成呢？

您可以使用FindRoot或Solve查找g的根
然后你可以通过检查g的派生来验证点是否真的是局部最小值（此时它应该是正数）。
然后您可以NIntegrate找到f的最小值 - 只有一个数值积分！

在Mathematica中找到由集成定义的函数的最小值

3 个答案: