Question

设₀，...，_n-1是一系列长度。我们可以构造区间[0，a ₀]，（a ₁，a ₂ + a ₁]，（一<子> 2 +一<子> 1 ，一个<子> 3 +一<子> 2 +一<子> 1 ]，...我将序列a ₁，...，_n-1存储在Fenwick树中。

我问这个问题：给定一个数m，我怎样才能有效地（记录时间）找到m落入的区间？

例如，给出a：3,5,2,7,9,4。

芬威克树存储3,8,2,17,9,13。

区间为[0,3]，（3,8），（8,10），（10,17），（17,26），（26,30）。

给定数字9，算法应该返回Fenwick树的第3个索引（如果使用基于0的数组，则返回2个，如果使用基于1的数组，则返回3个）。给定数字26，算法应该返回Fenwick树的第5个索引（如果使用基于0的数组则为4个，如果使用基于1的数组则为5个）。

可能另一种数据结构可能更适合此操作。我使用的是Fenwick Trees，因为它们看似简单而且效率高。

Answer 1

我们可以进行O（log n）时间搜索操作。诀窍是将二进制搜索与前缀sum操作集成。

def get_total(tree, i):
    total = 0
    while i > 0:
        total += tree[i - 1]
        i -= i & (-i)
    return total


def search(tree, total):
    j = 1
    while j < len(tree):
        j <<= 1
    j >>= 1
    i = -1
    while j > 0:
        if i + j < len(tree) and total > tree[i + j]:
            total -= tree[i + j]
            i += j
        j >>= 1
    return i + 1


tree = [3, 8, 2, 17, 9, 13]
print('Intervals')
for i in range(len(tree)):
    print(get_total(tree, i), get_total(tree, i + 1))
print('Searches')
for total in range(31):
    print(total, search(tree, total))

输出

Answer 2

如果间隔不经常更改，您可以在累积数组中使用简单的二进制搜索来执行此操作。在Python中，您可以使用bisect模块来执行此操作。每个查询都是O（log n）：

import bisect

A = [3, 5, 2, 7, 9, 4]

for i in xrange(1, len(A)):
    A[i] += A[i-1]

print bisect.bisect_left(A, 9)
print bisect.bisect_left(A, 26)

如果间隔发生变化，您可以使用相同的想法，但每个数组查找都将为O（log n），从而使查询操作O（log²n）整体。

Fenwick树确定一个点落入哪个区间

2 个答案: