Question

我们必须将两个数字x和y相乘，但我们不能使用*运算符。

一种简单的方法是添加x，y次或添加y，x次，这很简单并且是线性的。

第二种方法是选择任意数字（比如x）并查看在该数字中设置的所有位，如果设置了第i位，则执行以下操作：

product +=y<<i//product is 0 initially and do this for all i.

显然对于32位数字，循环运行32次并且其时间复杂度是恒定的。

我的问题是，还有其他办法吗？记住我们不能使用*。

Answer 1

假设两个数字都是无符号的，可以做（这或多或少等同于你的第二种方式）

p = 0
while x > 0
    while x is even
        x = x / 2    // a shift right operation
        y = y + y    // a shift left operation
    x = x - 1
    p = p + y

该产品现在位于p。

要了解为什么这是正确的，请考虑不变

product = p + x*y

它由算法中的所有循环维护。我们从p = 0开始，所以它在开始时结束，当x = 0时结束，所以我们必须得到product = p。

Answer 2

在某些体系结构中，可以使用单个指令在单词中设置第一个/最后一个位。

E.g。 GCC具有__builtin_clz (unsigned int x)，它返回X中前导0位的数量。

或者strings.h中有int ffs(int i)，它返回单词i中第一个（最低有效）位集的位置。

使用其中一个，您只能枚举一个单词中的设置位。这可以减少所需的迭代次数。

#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
#include <strings.h>

int main(int argc, char** argv)
{
  if(argc >= 2) {
    int a = atoi(argv[1]);
    int b = atoi(argv[2]);
    printf("%i * %i = %i", a, b, a*b);
    int r = 0;
    while (a) {
      int i = ffs(a) - 1;
      a ^= 1<<i;
      r += b<<i;
    }
    printf(" = %i\n", r);
  }
}

使用此代码，乘法1048576 * 123 = 128974848将在单次迭代中完成，因为1048576 = 0x100000只有一位设置。

Answer 3

在没有*

的情况下相乘

解决方案1有整数：

我假设您可以使用+

做一个循环：x + x + .. + x（y次）。或y + ... + y（x次）。

解决方案2：

分解所有内容，为每个数字0-9保留一张x * y表，并重现手动操作，就像在小学一样。

解决方案3：结合其他两个方面，最简单，最强大：

对于整数：以二进制方式执行

13 * 7：

1101 * 111 = 1101 + 11010 + 110100 = 1011011 = 91

处理器的工作方式就是这样。没有+，只有二进制操作（和，或，xor）

对于非整数：用管理0的整数

进行

对于负数：同样的事情，管理+/-

时间复杂度在32位时保持不变：这是无关紧要的，因为一切都是不变的。

一般的时间复杂度：二元运算非常有效：

位数= O（log n）

=＆GT; x * y =＆gt; O（log x）* O（log y）

用于乘以两个数的算法

3 个答案: