对于大O符号，在2 ^ n或n ^ 2中占主导地位

Question

我一直在关注Big O符号并且遇到了操作计数2^n+n^2。我理解大O符号的做法是删除常量和低阶项，但是我无法弄清楚哪一个要O(n)。我认为它可能是2^n，但没有找到任何建议这一点的运气。

Answer 1

随着时间的推移，看看增长因素。对于n的前八个值，O(n^2)适用于：

0,1,4,9,16,25,36,49 ......

O(2^n)产生两个权力：

1,2,4,8,16,32,64,128 ......

应该相当明显哪一个增长得更快。

请注意，一般规则适用于不同的基数和指数。对于较小的O(1.1^n)，O(n^10)最初的工作可能低于n，但指数大于1的指数增长最终将超过固定的指数多项式增长，因为n接近无穷大。

Answer 2

按照L＆＃39; Hopital的规则：

lim_{n -> infinity} (n^2 / 2^n )

= 1/log(2) lim_{n -> infinity} (2n / 2^n)

= 1/log(2)^2 lim_{n -> infinity} (2 / 2^n)

= 0

我们n^2 = o(2^n)暗示n^2 = O(2^n)。

如果此证据没有意义：根据定义，f(n) = O(g(n)当且仅当f(n)在g(n)增长后n的某个常数倍内有界时f(n) = o(g(n))经过一些不变的。考虑n的一种方法是，当g(n)增长到无穷大时，f(n)将继续快速增长f(n) = o(g(n))。换句话说：

1. f(n)/g(n)当且仅当限制n变为零时o(g(n)变为无穷大。

2. f(n) = O(g(n))是a的严格条件。

或者，您只需要直接使用该定义：查找一些b和n^2 <= a | 2^n |，使n >= b为所有x，这是一种简单的代数操作。

Answer 3

2 ^ n占主导地位，因为它对于较大的n增长得更快。

Answer 4

我非常喜欢 @ShadowRanger 对你问题的回答。但是，我想再展示一个问题。

如果您查看此图表，绿色部分为2^n，红色为n^2。如果你可以看到，行n^2开始增长的速度比2^n快，但随着你越来越大，行越过，2^n开始变得更大，更快。

因此，n-->∞（因为n非常大），2^n大于n^2。

Answer 5

你的预感是正确的。

为证明这一点，我们必须表明：

，

使用归纳法，基本案例为：

现在假设符合不平等：

的情况属实。

因此，