Question

如果Vector表示v而Matrix表示为M，那么在Julia中计算矩阵二次型的最快方法是什么，即v'Mv？那最优雅的呢？

注意：我希望返回值为标量。有趣的是，如果v = rand(3)和M = rand(3, 3)，则v'*M*v会返回包含一个元素而不是标量的向量。我并没有期待这种行为，虽然已经阅读了足够多的github问题页面，怀疑这种行为有充分的理由让我觉得不够聪明。所以，显然(v'*M*v)[1]会完成这项工作，只是想知道是否有更好的方法......

Answer 1

返回标量的一个选项是dot(v, M*v)。

Answer 2

双for怎么样？将保存中间向量的分配。为了完整起见，在代码中：

vMv{T}(v::Vector{T},M::Matrix{T}) = begin
    size(M) == (size(v,1),size(v,1)) || throw("Vector/Matrix size mismatch")
    res = zero(T)
    for i = 1:size(v,1)
        for j = 1:size(v,1)
            res += v[i]*v[j]*M[i,j]
        end
    end
    res
end

添加一些@inbounds和@simd可以优化。

Answer 3

仅需说明一下，n(n-1)/2操作在上述双循环中是多余的；如果v是n个元素上的向量，并且M是nxn矩阵，则二次形式v'Mv的计算仅需要以下操作：

sum_i=1:n(v[i]^2 * M[i, i]) + sum_j=1:n-1, i=j+1:n(2 * (v[i] * v[j] * M[i, j]))

在Julia中计算矩阵二次型的最佳方法

3 个答案: