使用FFT优化2D小波变换

Question

我目前的目标是针对2D信号（图像）优化我的快速小波变换（FWT）算法。它的工作原理如下：

• 1D FWT的一次迭代将1D输入数据与选定的1D滤波器卷积（长度从2到约60）并对结果进行下采样
• 2D变换算法在输入图像的所有行和输入图像的所有列上执行1D FWT
• 如果需要更多级别则迭代

转换是交互式应用程序的一部分，用于演示小波及其用法。它的工作速度相当快，通常可以实时响应用户的交互。但如果过滤器很长，则会出现一些性能问题。我已经读过，使用快速傅里叶变换（FFT）代替卷积对于足够长的滤波器是有效的。

我已经实施了1D FFT，但问题是如何使用它来实现最高效率？我应该在单个1D FWT之前转换输入数据，然后执行卷积（对应于频域中的乘法），然后使用逆FFT将数据转换回来？ 此外，如何完成乘法运算？例如，长度为256的输入数据和长度为4的滤波器都使用FFT进行变换，然后在将数据转换回来之前，只将输入数据的前4个值相乘？我挣扎了一点点关于细节，非常感谢对此的任何见解。

修改 我已经发现，在我的情况下，我在循环卷积之后，因此滤波器应该填零，以使其长度与输入数据的长度相同。但我对效率的质疑仍然存在。我应该如何使用FFT进行FWT计算才能获益？

编辑2： dsp.stackexchange.com已回答了这个问题。

Answer 1

这是一种非常优雅的方式。如果你感兴趣的话，我可以挖掘出我的代码，很久以前就已经开始了（参见这两个出版物for the non-redundant(FWT) case（图3）和for the shift-invariant case）。移位不变的情况可能不是你所追求的，但它使用相同的技巧。它的描述稍微透彻here in Appendix B。