Question

我刚刚开始阅读算法设计手册，发现很难掌握如何证明算法的正确性。有人可以通过解释我提供的示例问题来帮助我。

证明以下递归算法的正确性乘以2 自然数，对于所有整数常数c≥2。

function multiply(y,z)
comment Return the product yz.
1. if z = 0 then return(0) else
2. return(multiply(cy, z/c) + y · (z mod c))

Answer 1

让我们正式说明我们要证明的内容：

For all integers y, z, we have multiply(y, z) = y · z.

对于递归算法，我们通常需要一个感应证明。这需要我们选择一个感应量，每次递归调用都会减少。在这里，我们可以使用|z|。归纳命题是

For all integers k ≥ 0, for all integers y, z such that |z| = k,
  we have multiply(y, z) = y · z.

基本情况是|z| = 0。这意味着z = 0，我们验证multiply(y, z) = 0（if已被采用）和y · z = y · 0 = 0。

归纳案例是|z| > 0。 else被采用，自c ≥ 2以来，我们知道|trunc(z / c)| < |z|，因此归因于归纳假设multiply(c · y, trunc(z / c)) = c · y · floor(z / c)。因此返回值

  c · y · trunc(z / c) + y · (z mod c)
= y · (c · trunc(z / c) + c · (z / c - trunc(z / c)))
= y · (c · z / c)
= y · z,

根据需要。

Answer 2

通过递归z。

我们认为每个z＆lt; K然后，K确实如此。

如果z = 0，则为真：乘（y，z）= 0（规则1）。

然后每个K都是如此。

案例1：z＆lt; ç

然后z / c = 0，z％c = z

然后乘以（y，z）=乘（cy，z / c）+ y·（z mod c））（规则2）。

=乘（cy，0）+ y·z = 0 + y。 z = y。 z TRUE

案例2：z＆gt; = c

然后z / c＆lt; z（因为c> = 2）

然后乘以（y，z）=乘（cy，z / c）+ y·（z mod c））（规则2）。

= cy。（z / c）+ y。（z mod c）（RECURSION）

= y。（c。（z / c）+ z mod c）

但是c。（z / c）+ z mod c = z（mod的定义）

然后乘以（y，z）= y。 z结束了。

在证明算法的正确性时从哪里开始

2 个答案: