Question

我正在关于stackoverflow的帖子关于证明不同算法的正确性，他们似乎都是关于证明算法X或Y.我是计算机科学专业的学生，我意识到很多CS学生（包括我）都是挣扎于这个概念，我没有找到任何解释证明程序/算法正确性的一般方法的帖子。 Wiki和Youtube都没有真正帮助，因为两者关于当前主题的信息量非常有限。

你能逐步解释“通用”方法（如果有的话）来证明算法的正确性，解释循环不变量的方式，为什么它有时足以证明算法是部分正确而不是完全，包含所有细节和细微差别，而不会遗漏任何相关内容。只是为了确保任何人都能理解这个概念，让我们证明二进制搜索算法的正确性（以最通用的方式）。

int binSearch(int[] a, int x) {
    int l = 0;
    int r = a.length - 1;
    int m = 0;
    while (l <= r && a[m] != x) {
        m = (l + r) / 2;
        if (a[m] > x)
            r = m - 1;
        else if (a[m] < x)
            l = m + 1;
    }
    if (a[m] == x)
        return m
    else
        return -1;

Answer 1

算法及其在特定编程语言中的实现之间存在差异。当你无法“证明”它是正确的时，完全可以正确地实现算法！（您可以编写正确的二进制搜索，而不必知道'为什么'它总是适用于排序列表。）

让我们为你的例子写出算法：二分搜索。

在 n 元素的排序列表中，搜索到的值 x 可能会出现在该列表中，也可能不会出现。

列表的“长度”，即 x 可能存在的界限，可以用索引 l 和 r <表示/ em>这样可以确保如果 x 在列表中，它将位于 l 和 r 之间的位置（包括）如果它不在这些值之间（再次，包括），它将不在整个列表中。对于排序的列表，这始终是正确的。提前检查可能是测试 x 是否低于第一个元素值或高于最后一个元素值;如果是这样，那就是“超出界限”，你就完成了。

如果由 l 和 r 绑定的列表片段的长度仅为1个元素，那么如果找到element[l] = x的搜索值，否则它不在列表中。

如果列表片段的长度大于1，则在 l 和 r 之间选择一个随机元素（通常选择中点）。它的值可以小于，等于或大于 x 。

由于我们知道在排序列表中 x 可能位于 l 和 r 之间的任何位置（如果它在列表中），您可以更新 l 或 r （取决于步骤＃2的结果）和整体声明 elem [l]＆lt; = x＆lt; = elem [r] 仍然是真的。其中一个 elem [l]＆lt; = x＆lt; = elem [m] 和 elem [m]＆lt; = x＆lt; = elem [r] 必须为true ，它决定了你可以移动的终点。

l 的每次更改都会将其移至 r ; r 的每次更改都会将其移至 l 。从步骤＃1开始重复，直到间隔 l..r 只有1个元素长，因此步骤＃1为true。

由于每个比较必须将 l 或 r 更新为另一个，因此列表片段在每次迭代时都会变短。因此，从逻辑上讲，它的最终长度为1，步骤＃1将停止算法，并且所选值将尽可能接近 x 的值（在某种意义上说， lower元素的值小于 x ，而较高元素的值大于 x 。）

这逐步描述了会发生什么，并且具有明确的停止状态，它将始终返回正确的结果。任何步骤都没有歧义 - 想要的元素总是在 l 和 r 之间。

这是二进制搜索工作方式的逻辑证明（即，它将始终返回所需的结果），但二进制搜索只能。其他算法需要不同的证明。

不知怎的，我得到了你正在寻找证明证明的想法：“证明不同算法的正确性”。这就是计算的圣杯。你应该阅读图灵的停止定理（如果我没记错的话，说明没有这样的事情）。

证明算法的正确性。

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