查找具有最大前K点总和的区域

Question

我的问题是：我们在2D空间中有N个点，每个点都有一个正重量。给定一个由两个实数a，b和一个整数k组成的查询，找到一个大小为axb的矩形的位置，边缘与轴平行，这样前k点的权重之和，即k点最高矩形覆盖的权重最大化？

任何建议都表示赞赏。

P.S .: 有两个相关的问题，已经进行了很好的研究：

• 最大区域总和：找到总权重最大的矩形。复杂性：NlogN。
• top-K查询正交范围：找到给定矩形中的top-k点。复杂性：O（log（N）^ 2 + k）。

Answer 1

您可以将此问题减少为在矩形中找到两个点：最右边和最顶部。因此，您可以有效地选择每对点并计算前k个权重（根据您是O（log（N）^ 2 + k））。复杂度：O（N ^ 2 *（log（N）^ 2 + k））。

现在，给定两点，它们可能不会形成有效的对：它们可能太远或者一点可能是正确的而另一点是顶点。所以，实际上，这会更快。

我的猜测是最优解是最大区域和问题的变化。你能指出一个描述该算法的链接吗？

Answer 2

非最佳答案如下：

1. 生成所有可能的点k点（它们是N×N-1×...×N-k + 1，所以这是O（N ^k ）并且可以是通过递归完成。

2. 通过消除未包含在aa×b矩形中的所有k-plets来过滤此列表：这是最坏的O（k N ^k ）。

   < / LI>

3. 找到具有最大权重的k-plet：这是最坏的O（k N ^k-1 ）。

因此，该算法为O（k N ^k ）。

改进算法

当一组点已经太大时，通过停止分支递归，可以在步骤1中集成步骤2。这不会改变扫描元素至少一次的需要，但它可以显着减少数量：想想没有解决方案的情况，因为所有点的分离都超过了矩形的大小，可以在O中找到（ ñ ² ）。

此外，通过相应地预先对点阵列进行排序，可以使步骤1中的置换生成器按x或y坐标顺序返回点。这很有用，因为它让我们可以预先丢弃一堆更多的可能性。假设数组按y坐标排序，因此返回的k-plets将按y坐标排序。现在，假设我们正在丢弃一个分支，因为它包含一个y坐标在最大矩形之外的点，我们也可以丢弃所有下一个兄弟分支，因为它们的y坐标将大于等于当前已经超出的分支。界限。

这为排序添加了O（n log n），但在许多情况下，改进可能非常显着 - 同样，当有许多异常值时。应该选择与最小矩形边相对应的坐标，除以2D字段的相应边 - 我指的是最大坐标减去所有点的最小坐标。

最后，如果所有点都位于a×b矩形内，则算法无论如何都会执行O（k N ^k ）。如果这是一个具体的可能性，应该检查一个简单的O（N）循环，如果是这样，那么它足以返回具有前N个权重的点，也就是O（N）。